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第十五章 电路方程的矩阵形式 1. 掌握割集的概念，熟练写出电路关联矩阵A、回路矩阵B、割集矩阵Q； 2. 掌握复合支路的概念； 3. 学会用矩阵形式列写回路电流方程、结点电压方程和割集电压方程； §15-1 割集 1. 定义 连通图G的一个割集是G的一个支路集合，如果 ①把这些支路移去，将使G(恰好)分离为两个部分， ②但是少移去其中一条支路，G将仍是连通的。 (a，d，f )这个支路集合就是G的一个割集。 全移，G一分为二；少移一条， G连通。 (b, d, e, f )是 (a, d, e, f )不是G的割集！ (a, b, c, d ,e )不是G的割集！ 原因：全移，G被分为三部分。 2. 割集的判断与确定 直观方便的方法是闭合面加定义。 3. 独立割集和基本割集 KCL适用于任一闭合面。 属同一割集的所有支路电流也满足KCL。 对于一个连通图 G，总可以列出与割集数量相等的KCL方程。但它们不一定线性独立。 (1)独立割集 与一组线性独立的KCL方程相对应的割集，称为独立割集。 (2)独立割集的确定 选一个树，一条树支与相应的连支可以构成一个割集。 由一条树支与相应的连支构成的割集叫单树支割集。 对于具有n个结点b条支路的连通图，树支数为(n-1)条。 这(n-1)个单树支割集称为基本割集组。 树支为2,3,4,6时的基本割集组 树支为5,6,7,8时的基本割集组。 §15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 1. 关联矩阵的特点 描述结点与支路关联的矩阵。 是一个(n×b)阶的矩阵。 (2)降阶关联矩阵A (3)用A表示KCL的矩阵形式 b(=6)条支路电流可以用列向量表示 i = [i1, i2 , · · · , i6 ]T Ai = (4)用A表示KVL的矩阵形式 以b(=6)阶列向量表示支路电压： u = [u1, u2 , · · · , u6 ]T 并取某一结点(取④)为参考， (n-1=3) 个结点电压的列向量： un = [un1, un2 , un3 ]T 结点电压与支路电压之间的关系为 u = ATun 小结 2. 回路矩阵 描述回路与支路关联的矩阵。 是一个(l×b)阶的矩阵。 (1)B 的元素定义 bjk= +1，支路k与回路j关联，且方向一致； bjk= -1，支路k与回路j关联，且方向相反； bjk= 0，支路k与回路j无关联。 (2)基本回路矩阵Bf Bf 反映了一组单连支回路与支路间的关联关系。 写Bf时的排列顺序： 先连支后树支。 Bf =[ 1l ┆ Bt ] (3)用B表示的KVL矩阵形式 Ⅰ：u1+u3 -u5 +u6= 0 Ⅱ：u2+ u3+u6= 0 Ⅲ：u4-u5 +u6= 0 (4)用B表示的KCL矩阵形式 若用列向量表示 l(=3) 个独立回路电流： il = [il1 il2 · · · ill ]T 则支路电流与回路电流之间的关系可以表示为 i = BTil 可以认为是用B 表示KCL的矩阵形式。 3. 割集矩阵Q 描述割集与支路关联的矩阵。 Q是一个(n-1)×b阶的矩阵。各元素定义为： qjk= +1，支路k与割集j关联，且方向一致； qjk= -1，支路k与割集j关联，且方向相反； qjk= 0，支路k与割集j无关联。 若选单树支割集为一组独立割集， 则得到基本割集矩阵Qf。 排列顺序为先树支后连支。 (1)用割集矩阵Q表示的 KCL的矩阵形式 因属同一割集的所有支路的电流也满足KCL，所以 Q i = 0 (2)用基本割集矩阵Qf表示KVL的矩阵形式 式中 ut =[ut1 ut2 · · · ut(n-1)]T 为树支电压列向量。 对右图：ut =[ut1 ut2 ut3]T u =[u3 u5 u6 u1 u2 u4]T *§15-3 矩阵A、Bf 、Qf之间的关系 2. 对任一图G，当A、B、Q 的列按相同的支路编号排列时： ABT = 0 或 BAT = 0 QBT = 0 或 BQT = 0 3. 若A、Bf、Qf 对应同一个树，且支路编号按先树支后连支的相同顺序排列写出。 则有： §15-4 回路电流方程的矩阵形式 一、复合支路 既含阻抗(导纳)，又有电源。 (1)支路阻抗Zk是单一的R或L或C，但不是它们的组合； (2)可以缺少某种元件。但不许存在无伴电流源支路。 二、支路方程的矩阵形式 情况1 电路无互感 Z称为支路阻抗矩阵， Z是对角矩阵，对角元素是各支路阻抗