级数D习题课.ppt

习题课 一、数项级数的审敛法 3. 任意项级数审敛法 利用比值判别法, 可知原级数发散. 例 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 二、求幂级数收敛域的方法 例. 三、幂级数和函数的求法 例. 求幂级数 法2 四、函数的幂级数和付式级数展开法 例. 将 例 设 * 级数的收敛、求和与展开 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数 展开法 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 求和 展开 (在收敛域内进行) 基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开. 时为数项级数; 时为幂级数; 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 为收敛级数 Leibniz判别法: 若 且 则交错级数 收敛 , 概念: 且余项 若 收敛 , 称 绝对收敛 若 发散 , 称 条件收敛 例. 判别下列级数的敛散性: 提示: (1) 据比较判别法, 原级数发散 . 因调和级数发散, 用比值法, 可判断级数 因 n 充分大时 ∴原级数发散 . 再由比较法可知原级数收敛 . 发散, 收敛, 提示: (1) P 1 时, 绝对收敛 ; 0 p ≤1 时, 条件收敛 ; p≤0 时, 发散 . (2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 . 故 因 单调递减, 且 但 所以原级数仅条件收敛 . 由Leibniz判别法知级数收敛 ; 因 所以原级数绝对收敛 . ? 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 ? 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 . 例. 求下列级数的收敛区间: （1） （2） 解: 当 因此级数在端点发散 , 时, 时原级数收敛 . 故收敛区间为 （1） 解: 因 故收敛区间为 级数收敛; 一般项 不趋于0, 级数发散; （2） 解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数 极限不存在 ∵ 原级数 = ∴ 其收敛半径 注意: ? 求部分和式极限 求和 ? 映射变换法 逐项求导或求积分 对和式积分或求导 难 直接求和: 直接变换, 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值 求部分和等 ? 初等变换法: 分解、套用公式 （在收敛区间内） ? 数项级数 求和 法1 易求出级数的收敛域为 先求出收敛区间 则 设和函数为 解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确, 故和函数为 而在 x≠0 例. 求下列幂级数的和函数： 级数发散, (2) 显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有 x = ?1 时, 级数也收敛 . 即得 解: 原式= 的和 . 例 求级数 ? 直接展开法 ? 间接展开法 练习: 将函数 展开成 x 的幂级数. — 利用已知展式的函数及幂级数性质 — 利用泰勒公式 解: 1. 函数的幂级数展开法 在x = 0处展为幂级数. 解: 因此 将 展开成 x 的幂级数 解: x＝±1 时, 此级数条件收敛, 因此