平面调和函数的充要的边界积分方程平面调和函数的充要的边界积分方程.pdf

中 固 抖 筝 1992年 4月 A 辑 第 4期 7g一午吁 平面调和函数的充要的边界积分方程 胡 海 昌 (中国空间飞行器总体设计部，北京 10a086) 摘 要 本文发现 ，以往习用的平面调和雷数的两种边界积分方程不是充要的，其原 因 是一个实际上并不能包括垒部调和函教的边界积分表达武误解为能如此．本文改正 了这个表达式，并进而导出了充要的直接变量和阍接变量的边界积分方程 关键词：塑塑鱼墼的望曼堡 望，望曼壑 童矍，边界元法 用边界积分方程一边界元方法求解弹性力学以及其他物理或工程问题，近年来得到了蓬勃 的发展．但是边界积分方程的充要性 问题一直未受到足够的重视． 文献 【1】首次提出了调和 函数的边界积分方程的充要条件 ．本文应用这个条件考查了两种习用的平面调和函数的边界 积分方程，发现它们不是充要的，因而并非在一切情况下都可 以应用．文献 【2]也 曾指出过，有 些平面调和函数的边界积分方程有时会出问题．但因未能找到根本原因，故未能从根本上加 以改进 ．本文发现，出问题的根本原因在于把一个在空间问题中能包括全部调和函数的边界 积分公式(单层源公式)，不加证明地移植于平面问题．而事实上这个移植来的公式并不能包 括全部调和函数．本文证明了，只要在上述公式后加一个常数项，便能达到预期的 目的．这一 改进还使平面诵和函数的单层源具有客观性．我们依据这个新的平面调和函数的一 般 表 达 式，建立了两种(直接变量和间接变量各一种)新的边界积分方程，它们都是充要的． 一 、 任意平面调和函数的边界积分表示 考虑平面 (，y)上有一个有限区域 口，口的边界为B． 平面调和函数的基本解G，即单 位 点源所 引起的场 ，满足下列方程 vG一 一 (— )， (1．1) 式中z，}是 (，)，(，)的缩写，而 (，)是奇点的坐标、基本解常取为 G(，)— 一 ln蚴 ， l2) ‘ t／ 其 中 R(z，)一 √(一 ；)-t-(一 )， (1．3) 而 是可任意选定的一个距离标尺 ．所 以引进距离标尺，是因为对数是个超越函数，而超越 车文 I991年 2户 4日收到 第 期 胡薄昌：平面调和萄数的充要的边界积分方程 j99 函数的 自变量必须是无量纲的．平面谓和函数和空间调和函数这两种基本解有两个很大的区 别 ．一是可以要求届者在 无穷远处等于零 ，而前者无法做到．二是后者可 以用带量纲的坐标 计算 ，i同i订者必须首先无量纲化 ． 不少文被(如文献 [3，4])自觉或不 自觉地认为 ：口内的调和 函数 (z)总可 阻表示为 )一 ＼ ()6(，5) f，}∈B{， (1．4) ： 这里 f是指 由(}，)点组成的边界 ，而 是指由 (，y)点组成的边界； 是适当的单层密度 ． (14)式虽然与空间调和 函数 的对应公式 一 j e (1) 卜分相似，坦正如文献[2】所指出的，却不一定能成立．文献[2]举出