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应用泛函答案应用泛函答案
1 1
3、在 上定义d (x, y) arctan | x =−y | ,问(R ,d ) 是不是距离空间?
R
证明:
非负性:d (x, y) arctan x =−y ≥0
严格正:d (x, y) 0 =⇔arctan x −y 0 =⇔x y
对称性:d (x, y) arctan x =−y arctan y =−x d ( y, x)
再证明三角不等式:
设 时,有 + ≤ + (1)
αβ, ≥0 arctan(α β) arctanα arctan β
下面我们证明(1)式成立:
设β α ,所以arctan(α+β) −arctan β ≤arctanα−arctan 0
再用微分中值定理:
1 1
[ , ], [0, ] ( ) ( 0)
∃ ∈ + ∃ ∈ ⇒ + − ≤ −
θ βα β θ α α β α α
1 2 2 2
1+θ 1+θ
1 2
因为θ ≥θ ,故(1)式成立。
1 2
由上面的结论可得:
arctan x −y ≤arctan( x −z + z −y ) ≤arctan x −z +arctan( z −y )
故:d (x, y) ≤d (x, z) +d (z, y) ,故是距离空间。
4 、在 n x (x , , x ), y (y , , y )
维Euclid 空间 中,对于 ,定义
n R
1 n 1 n
n
λ λ n
,其中 , , 是n 个整数,证明d 是 中的距离,并且按
d (x, y) ∑λ x =−y 1 n R
i i i
i 1
距离收敛等价于按坐标收敛。
证明:
(1)证明d 是R n 中的距离:
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