应用泛函答案应用泛函答案.pdf

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1 1 3、在 上定义d (x, y) arctan | x =−y | ,问(R ,d ) 是不是距离空间? R 证明: 非负性:d (x, y) arctan x =−y ≥0 严格正:d (x, y) 0 =⇔arctan x −y 0 =⇔x y 对称性:d (x, y) arctan x =−y arctan y =−x d ( y, x) 再证明三角不等式: 设 时,有 + ≤ + (1) αβ, ≥0 arctan(α β) arctanα arctan β 下面我们证明(1)式成立: 设β α ,所以arctan(α+β) −arctan β ≤arctanα−arctan 0 再用微分中值定理: 1 1 [ , ], [0, ] ( ) ( 0) ∃ ∈ + ∃ ∈ ⇒ + − ≤ − θ βα β θ α α β α α 1 2 2 2 1+θ 1+θ 1 2 因为θ ≥θ ,故(1)式成立。 1 2 由上面的结论可得: arctan x −y ≤arctan( x −z + z −y ) ≤arctan x −z +arctan( z −y ) 故:d (x, y) ≤d (x, z) +d (z, y) ,故是距离空间。 4 、在 n x (x , , x ), y (y , , y ) 维Euclid 空间 中,对于 ,定义 n R 1 n 1 n n λ λ n ,其中 , , 是n 个整数,证明d 是 中的距离,并且按 d (x, y) ∑λ x =−y 1 n R i i i i 1 距离收敛等价于按坐标收敛。 证明: (1)证明d 是R n 中的距离:

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