度量空间的拓扑性质与连续性度量空间的拓扑性质与连续性.pdf

第一章 度量空间 1.2 度量空间的拓扑性质与连续性 1.2.1 度量空间的拓扑性质 定义 1.2.1 邻域 设(X , d ) 是度量空间，x ∈X ，δ 0 ，称集合O( x ,δ) {x | d (x ,x ) δ,x ∈X }为以x 为中 0 0 0 0 心，δ 为半径的开球，或x 的一个δ 邻域．如果不特别强调半径，用O( x ) 表示x 的半径；称 0 0 0 O( x ,δ) {x | d (x ,x ) =≤δ,x ∈X }为闭球． 0 0 定义 1.2.2 内点、开集与闭集 设(X , d ) 是一度量空间，x ∈G ⊂X ，若存在x 的δ 邻域 O( x ,δ) ⊂G ，则称点x 为G 的 0 0 0 0 内点．如果G 中的每个点均是它的内点，则称G 为开集．并规定空集φ 为开集．对于F ⊂X ， 若F C X =−F 是开集，则称F 为闭集． 注 1：实数域中的任何开球是开集，闭球是闭集，对于度量空间其结论如何？ 例 1.2.1 度量空间(X , d ) 的开球O( x ,δ) 是开集． 0 * 1 * ( ( , )) 证明 ∀x ∈O( x ,δ) ,显然d (x, x ) δ ，取δ δ=−d x x ，即2δ +d (x, x ) δ ，则对任 0 0 0 0 2 何 * * y ∈O (x ,δ ) ，都有d (x, y) δ ，从而 * d ( y, x ) ≤d ( y, x) +d (x, x ) δ +d (x, x ) δ ． 0 0 0 即 * O( x,δ ) ⊂ O( x ,δ) ,所以O( x ,δ) 是开集．□ 0 0 δ δ