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微分方程第3章习题解微分方程第3章习题解
第三章 一阶微分方程的解的存在定理
3-1
3-1
33--11 求下列初值问题的近似解。
⎧dy 2
⎪ = x+ y
1） 求初值问题⎨dx 的第三次近似解；
⎪y(0) = 0
⎩
⎧dy 2
⎪ = x− y
2） 求初值问题⎨dx 的第二次近似解。
⎪y(1) = 0
⎩
解 由解的存在唯一性定理知，1），2）中的初值问题的解分别在(0,0) ，(1,0) 的邻域
内存在且唯一。下面求它们的近似解。
1） φ ( x) = 0 ，
0
2
x x
φ ( x) = xdx = ，
1 ∫0 2
4 5 2
x x x x
φ ( x) = [ x+ ]dx= + ，
2 ∫
0 4 20 2
2
⎡ 5 2 ⎤ 2 5 8 11
x ⎛ x x ⎞ x x x x
φ ( x) = ⎢x+ ⎜ + ⎟ ⎥dx = + + + 。
3 ∫ ⎜ ⎟
0 ⎢ ⎝ 20 2 ⎠ ⎥ 2 20 160 4400
⎣ ⎦
2） φ ( x) = 0 ，
0
2
x x 1
φ ( x) = xdx = − ，
1 ∫
1 2 2
2
⎡ 2 ⎤ 5 3 2
x ⎛ x 1 ⎞ x x x 1 11
φ ( x) = ⎢x− ⎜ − ⎟ ⎥dx= − + + − x− 。
2 ∫ ⎜ ⎟
1 ⎢ ⎝ 2 2 ⎠ ⎥ 20 6 2 4 30
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