一阶常微分方程解的唯一性问题研究.pdfVIP

第 31卷第 6期 华 北 水 利 水 电 学 院 学 报 Vo1．31NO．6 2010年 l2月 JournalofNorthChinaInstituteofWaterConservancyandHydroelectricPower Dec．2O1O 文章 编号 ：1002—5634(2Ol0)06—0153—03 阶常微分方程解 的唯一性 问题研究 王锐利 ，林 大 志 (1．河南济 源职 技 术学院，河南 济源 454650；2．郑州牧 业工程高等专科学校 ，河南 郑州 4500l1) 摘 要：给 了利普希 茨条件 下一 阶常微分方程组初 值问题解的唯一性 的3种证 明方 法 ，阐明了每种证 明方 法的优点．对不满 足利普希 茨条件但 初值问题 解仍唯一的情况 ，给 f}；了两 个特 殊 的保证 唯一性 的条件 ，并通 过例子加 以说明． 关键词 ：解 的唯一性 ；利普希茨条件 ；初值 问题 中图分类号 ：0175．22 文献标 志码 ：A 常微分方程初值 问题解 的唯一性在实际丁程 中 1 利普希茨条件下解 的唯一性 具有特别重要的地位 ，不仅是后继问题研究的基础 ， 而且其本身也具有很大 的研究价值．尤其是与其有 对应于满足利普希茨条件下方程解的唯一性 问 关的唯一性 问题 ，一直 以来都是研究的重点。。～ ． 题证 明方法主要有 3种 ： 定理 1 若方程 方法一 没r()=llY()一Y()ll，所要证 』dY )， (1) 明的是 r()；0， [。一h。，。+h。]． 假设结论不成立 ，则存在 ， 【Y(3C)=Yo， 0 一 h0≤ 1≤ 0+h0， 的右 端 函数 F( ，Y)存 n+1维 空 间 的区域 R： 使得 r( )0，因为 y。()，y：()都是 (1)的解，故 1一3C。l≤n，JIy— ll≤b上连续，关于 y满足利 l ≠ 0；不妨设 1 0，以 S表示 0≤ ≤ J上所有 普希茨 条件 ，即存在 N0，使对于 R上 任意两点 使 r()=0的 值集合．因为 。 S．故 5≠ ．设其 (，Y)，(，Y2)有 上确界为 ，有 r()的连续性知必有 r(OL)=0，又南 F(，Y)一F(，Y：)ll≤N lll，一 ll， 于 是 S的上确界 ，而 r( )0，故 则上述方程存区间l— l≤h上存在唯一解 r()0， ∈(O／，1)， Y=Y()，Y(。)= ． 这里 在 (OZ， )上 ，，。()一Y2()不变号，故必可对 r() 求导 ，所 以有 h。=mi ， )， M nlax llF(，】，)ll_ = 毫(y㈩ fl_¨ [F“(，】，l【J())一F