拉普拉斯逆变换(D)拉普拉斯逆变换(D).ppt

* 第九章 拉普拉斯变换 §9.3 Laplace 逆变换 §9.3 Laplace 逆变换 一、反演积分公式 —— Laplace 逆变换公式 二、求 Laplace 逆变换的方法 一、反演积分公式 —— Laplace 逆变换公式 1. 公式推导 函数 的 Laplace 变换 就是函数 的 Fourier 变换， 即 在 的连续点 t 处，有 (2) 根据 Fourier 逆变换， (1) 由 Laplace 变换与 Fourier 变换的关系可知， 推导 一、反演积分公式 —— Laplace 逆变换公式 1. 公式推导 在 的连续点 t 处，有 (2) 根据 Fourier 逆变换， 推导 (3) 将上式两边同乘 并由 有 即得 称 (B) 式为反演积分公式。 定义 该直线处于 的存在域中。 注 反演积分公式中的积分路径是 s 平面上的一条直线 c P227 ( 9.16 )式 一、反演积分公式 —— Laplace 逆变换公式 2. 反演积分公式 根据上面的推导，得到如下的 Laplace 变换对: 二、求 Laplace 逆变换的方法 1. 留数法 利用留数计算反演积分。 则 设函数 除在半平面 内有有限个孤立奇点 定理 且当 时， 外是解析的， 证明 (略) P227 定理 9.2 (进入证明?) 二、求 Laplace 逆变换的方法 2. 查表法 此外，还可以利用卷积定理来求象原函数。 利用 Laplace 变换的性质，并根据一些已知函数的 Laplace 变换来求逆变换。 大多数情况下，象函数 常常为(真)分式形式： 其中，P(s) 和 Q(s) 是实系数多项式。 由于真分式总能进行部分分式分解，因此，利用查表法 很容易得到象原函数。 常用 (真分式的部分分式分解) 二、求 Laplace 逆变换的方法 2. 查表法 几个常用的 Laplace 逆变换的性质 二、求 Laplace 逆变换的方法 2. 查表法 几个常用函数的 Laplace 逆变换 (1) (单根) 解 方法一 利用查表法求解 有 (2) 由 2 3 解 方法二 利用留数法求解 (1) 为 的一阶极点， (2) (重根) (1) 解 方法一 利用查表法求解 1 - 1 - 1 有 (2) 由 P228 例9.17 解 方法二 利用留数法求解 (1) 分别为 的一阶与二阶极点， (2) (1) 解 方法一 利用查表法求解 (复根) 令 得 令 得 2 解 (1) 方法一 利用查表法求解 (重根) 2 (2) 由 得 解 方法二 利用留数法求解(略讲) (1) 为 的一阶极点， (2) 解 方法一 利用查表法求解 方法二 利用留数法求解 分别为 的一阶与二阶极点， 轻松一下 …… 利用留数计算反演积分的定理证明 附： 证明 如图，作闭曲线 大时，可使 的所有奇点包含 当 R 充分 在 C 围成的区域内。 R L CR 解析 由留数定理有： 由若尔当引理(§5.3), 当 时， 即得 (返回) 将上式两边同乘以 得