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拓扑空间 上图为三点集合{1,2,3}上四个拓扑的例子和两个反例。左下角的集合并不是个拓扑空间，因为缺少 {2}和{3}的并集{2,3} ；右下角的集合也不是个拓扑空间，因为缺少{1,2}和{2,3}的交集{2} 。 拓扑空间是一种数学结构 ，可以在上头形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数 学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓 扑空间的数学分支称为拓扑学。 定义 拓扑空间是一个集合    和其上定义的拓扑结构“τ”组成的二元组。其中“τ”包括开集 ，闭集 ，邻域 ，开 核 ，闭包五个概念。“τ”可以用从这五个概念任一出发作出等价定义。最常见的定义是从开集开始。    的元素   通常称为拓扑空间  的点。 开集公理    的子集族 称为开集系 （其中的元素称为开集 ），当且仅当其满足如下开集公理：  O1 ： ， 。  O2 ：若 （ ），则 （对任意并运算封闭）。  O3 ：若 ，则 。（对有限交运算封闭）。 闭集公理 的子集族 称为闭集系 （其中的元素称为闭集 ），当且仅当其满足如下闭集公理：  C1 ： ， 。  C2 ：若 （ ），则 （对任意交运算封闭）。  C3 ：若 ，则 。（对有限并运算封闭）。 （显然，闭集是开集的对偶概念）。 邻域公理 的映射 （ 指 的幂集的幂集）。这样 将 的每个点 映射至 的子集族 。 称为 的邻域系 （ 的元素称为 的邻域 ），当且仅当对任意 的 ， 满足如下邻域公理：  U1 ：若 ，则 。  U2 ：若 ，则 。（邻域系对邻域的有限交封闭）。  U3 ：若 ， ，则 。  U4 ：若 ，则存在若 ，使对所有 ，有 。 闭包公理 的幂集 上的一元运算 （即将 的子集A 映射为 的子集 ）称为闭包运算 （像称为原像的闭包 ）。当且仅当运算 满足下述的闭包公理：  A1 ： ；  A2 ： ；  A3 ： ；  A4 ： 。 集合 的闭包通常记为 。 开核公理 的幂集 上的一元运算 （即将 的子集A 映射为 的子集 ）称为开核运算 （像称为原像的开核或内部 ）。当且仅当运算 满足如下开核公理：  I1 ： ；  I2 ： ；  I3 ： ；  I4 ： 。 集合 的开核通常记为 。 （显然，开核运算是闭包运算的对偶概念）。 各等价定义之间的关系 在以上任意一个概念公理系统为起点，都可以等价地定义其它四个概念。具体的关系如下：  UO （从邻域定义开集）： 的子集 是开集，当且仅当对任意 ，有 。（ 是 其中每个点的邻域）。  OU （从开集定义邻域）： 的子集 是点 的邻域，当且仅当存在开集 ，使 。  UI （从邻域定义开核）： 的子集 的开核