排列与组合公式 1 排列 从n个不同元素中任取r个元素排成一排列与组合公式 1 排列 从n个不同元素中任取r个元素排成一.ppt

1.3 古典概型与几何概型 1.3.1 排列与组合公式 1. 排列 从n个不同元素中任取r个元素排成一列（考虑元素先后出现次序），称此为一个排列，此种排列的总数为 若r = n，则称为全排列,全排列的总数为 An= n!． 2. 重复排列 从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取出下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列，此种重复排列数共有nr个，这里r允许大于n． 3. 组合 从n个不同元素中任取r个元素并成一组（不考虑元素先后出现次序），称为一个组合，此种组合的总数为 易知 ， ． 排列组合公式在古典概型的概率计算中经常使用． 1.3.2 古典概型 具有以下两个特点的试验称为古典概型： (1) 有限性：试验的样本空间只含有限个样本点； (2) 等可能性：试验中每个基本事件发生的可能性相同． 对于古典概型，若样本空间中共有n个样本点，事件A包含k个样本点，则事件A的概率为 容易验证，由上式确定的概率满足公理化定义． 【例1.5】（摸球问题）箱中盛有?个白球和?个黑球，从其中任意地接连取出k+1个球(k+1 ? ?+? )，如果每个球被取出后不再放回，试求最后取出的球是白球的概率． 解：由于注意了球的次序，故应考虑排列． 接连不放回地取k + 1个球的所有结果共有 个， 即样本空间中共有 个样本点． 最后取出的白球可以是?个白球中的任一个， 共有?种取法， 其余k个可以是其余?+?–1个的任意k个， 共有 种取法， 因而事件A =“取出的k + 1球中最后一个是白球”中共含有 个样本点，于是 ． 【例1.6】（分房问题）有n个人，每个人都以同样的概率被分配在N（n ? N）间房中的每一间中，试求下列各事件的概率： (1) A =“某指定n间房中各有一人”； (2) B =“恰有n间房，其中各有一人”； (3) C =“某指定房中恰有m (m ? n)人”． 解：因为每个人都可以分配到N间房中任一间，所以n个人分配房间的方式共有Nn种，即样本空间中所有样本点的个数为Nn． (1) A =“某指定n间房中各有一人”， “某指定n间房中各有一人”的分配方法 共有n! 种， 因而事件A中含有n!个样本点， 于是 (2) B =“恰有n间房，其中各有一人” 这n间房可自N间中任意选出， 共有　　种选法， 因而事件B中含有 个样本点， 于是 　 (3) C =“某指定房中恰有m (m ? n)人” 事件C中的m个人可自n个人中任意选出, 共有　　种选法， 其余n – m个人可以任意分配在其余N – 1间房里， 共有 　个分配法， 因而事件C中有 个样本点， 于是 1.3.3 几何概型 具有以下两个特点的试验称为几何概型： (1) 随机试验的样本空间为某可度量的区域? ； (2) ? 中任一区域出现的可能性的大小与该区域的几何度量成正比而与该区域的位置和形状无关． 对于几何概型，若事件A是? 中的某一区域，且A可以度量，则事件A的概率为 其中，如果? 是一维、二维或三维的区域，则? 的几何度量分别是长度、面积和体积． 【例1.8】（约会问题）甲乙两人约定在下午6点到7点之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去，求两人能会面的概率． 解：以x和y分别表示甲乙两人到达 约会地点的时间（以分钟为单位）， 在平面上建立xOy直角坐标系， 因为甲乙都是在0到60分钟内等可能到达，所以这是一个几何概型问题． 样本空间? = {(x，y)：0 ? x，y ? 60} 事件A =“甲乙将会面” 　　　= {(x，y) ? ? ：| x – y | ? 20} 因此 　【例1.9】（蒲丰投针问题）平面上画有间隔为d (d 0)的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l (l d)的针，求针与任一平行线相交的概率． 解：以x表示针的中点与最