排列问题的递归算法排列问题的递归算法.ppt

算法设计与分析 排列问题的递归算法 4.1.4 排列问题的递归算法 有n个元素，把它们编号为1，2…n，用一个数组A 来存放所生成的排列，然后输出它们。假定开始时n个元素以依次存放在数组A中，为了生成这n个元素的所有排列，可以采取下面的步骤： （1）第一个元素为1，即排列的第一个元素为1，生成后面n-1个元素的排列。 （2）第一个元素和第二个元素互换，使排列的第一个元素为2，生成后面n-1个元素的排列。 （3）如此继续，最后第一个元素和第n个元素互换，使排列的第一个元素为n，生成后面n-1个元素的排列。 在上面的第一步 ，为生成后面n-1个元素的排列，继续采取下面的步骤： （1）第二个元素为2，即排列的第二个元素为2，生成后面n-2个元素的排列。 （2）第二个元素和第三个元素互换，使排列的第二个元素为3，生成后面n-2个元素的排列。 （3）如此继续，最后第二个元素和第n个元素互换，使排列的第二个元素为n，生成后面n-2个元素的排列。 这种步骤一直继续，当排列的前n-2个元素已确定后，为生成后面2个元素的排列，可以： （1）第n-1个元素为n-1,即排列的第n-1个元素为n-1，生成后面1个元素的排列,此时n个元素已构成一个排列。 （2）第n-1个元素和第n个元素互换，使排列的第n-1个元素为n，生成后面1个元素的排列,此时n个元素已构成一个排列。 令排列算法perm(A,k,n)表示生成数组后面 个元素的排列。通过上面的分析有： （1）基础步：k=1,只有一个元素，已构成一个排列。 （2）归纳步：对任意的k,1k=n完成perm(A,k-1,n),逐一对第n-k元素与第n-k~n元素进行互换，每互换一次，就执行一次perm(A,k -1,n)操作，产生一个排列。 由此，排列生成的递归算法可描述如下： 算法4.5 排列的生成 输入：数组A[ ],数组的元素个数n 输出：数组A[ ]的所有排列 1.template class Type 2.void perm(Type A[],int k,int n) 3.{ 4. int i; 5. if (k==1) 6. for (i=0;in;i++) /* 已构成一个排列,输出它 */ 7. cout A[i]; 8. else 9. { 10. for (i=n-k;in;i++) /* 生成后续的一系列排列 */ 11. { 12. swap(A[i],A[n-k]); 13. perm(A,k-1,n); 14. swap(A[i],A[n-k]); 15. } 16. } 17.} 4.1.5 递归算法的讨论 结构清晰明了、容易阅读、容易用数学归纳法证明它的正确性。程序调试很方便。 递归深度加深，工作栈所需空间增大，递归调用时所花辅助操作增多。运行效率较低。可修改为相应的循环迭代的算法。 The end 组织结构 THANK YOU