收敛数列存在的条件收敛数列存在的条件.ppt

返回 后页 前页 学过数列极限概念后，自然会产生两个 3 数列极限存在的条件 一、单调有界定理 下面就极限存在性问题, 介绍两个重要定理. 二、柯西收敛准则 理论中占有非常重要的地位. 极限? 其中, 判断数列是否收敛, 这在极限 即极限的存在性问题; 二是如何计算数列的 问题：一是怎么知道一个数列是收敛的? 返回 一、单调有界定理 定理 2.7 单调有界数列必有极限. 证 该命题的几何意义是十分明显的. 单调增，有上界. 由确界定理，存在 由上确界的定义，对于任意的 使 存在 ( ) 例1 设 求 解 这就证明了 由此得到 有上界 2 , 由极限的不等式性, 知道 , 所以 下面再来证明此数列有上界. 于是由 可得 例2 下面的叙述错在哪儿？ 因为显然有 从而得出 是最基本的, 而教材上的证法技巧性较强. 由此得 *例3 证 证明: 例4 证 二、柯西收敛准则 定理 2.8 数列 收敛的充要条件是: 柯西准则的充要条件可用另一种形式表达为： 满足上述条件的数列称为柯西列. 对任意 均有 时, 有 证 此这里仅给出必要性的证明. 由此推得 柯西( Cauchy,A.L. 1789－1857 ,法国 ) 由于该定理充分性的证明需要进一步的知识，因 由柯西收敛准则的否定陈述, 可知 发散. 发散. 证明 例5 证 取 使得 返回 后页 前页