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第十三章 多元函数的极限与连续 第一节 平面点集 一、邻域，点列的极限 我们知道, lim xn A 当且仅当∀ε 0, ∃N 0 , 当n N 时, 有 xn −A ε . n→∞ A 的ε邻域为(A −ε, A +ε) O (A,ε) . ε 定义. 给定M (x , y ) ，平面上点M 的 邻域为 0 0 0 0 O(M ,ε) {M : MM =ε} 0 0 {(x, y ) : (x =−x )2 +(y −y )2 ε}. 0 0 定义. 给定平面上的点列{M (x , y )}，及点{M (x , y )}. 则lim M M n n n 0 0 0 n 0 n→∞ 当且仅当∀ε 0, ∃N 0 , 当n N 时, 有M n ∈O (M 0 ,ε) . 此时称M n 收敛于 M ，也可记为M →M (n →∞) , 或(x , y ) →(x , y )(as n →∞) . 0 n 0 n n 0 0 定理 13.1. ∞ . (x , y ) →(x , y ) ⇔x →x , y →y (n → ) n n 0 0 n 0 n 0 定理 13.2. 若 ′ ′ ′ ′ (x , y ) →(x , y ) , 且(x , y ) →(x , y ) , 则(x , y ) (x , y ). n n 0 0 n n 0 0 0 0 0 0 二、平面点集的基本概念 . E 定义. 设 是一平面点集 M ( 内点): ∃O(M ,δ) ⊂E. 0 0 M (外点): ∃O(M ,η) ∩E =∅. 1 1 * * E E M (边界点): ∀O(M ,ε) 既含 的点, 也含非 的点. 边界: 全体边界点.