数学建模(第三版)部分课后习题数学建模(第三版)部分课后习题.pdf

数学模型与数学建模习题 第三章 1.速度为 的风吹在迎风面积为 的风车上，空气的密度为ρ，用量纲分析 v s 法确定风车获得的功率p与 ， ，ρ的关系。 v s −1 2 −3 2 −3 解：按照量纲分析，[v]= LT ,[s]= L,[ρ]= ML ，[p]= MLT . a a a a 1 2 3 4 设π = v s ρ p ，则有下列等式成立： −1 a 2a −3 a 2 −3 a a +2a −3a +2a −a −3a a +a 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 3 4 [π]= (LT ) L (ML ) (MLT ) = L T M . 则成立下列方程组： ⎧a + 2a −3a + 2a = 0 ⎪ 1 2 3 4 ⎨−a −3a = 0 ， 1 4 ⎪a + a = 0 ⎩ 3 4 α β γ 有上面方程组可以得到 p= λv s ρ ，其中 为无单位常数比例系数。因 λ 3 此功率p与v,s,ρ的关系为：p= λv sρ ，其中λ为无单位的常比例系数. 4.质量为m的小球以初速度v竖直上抛，空气的阻力与速度成正比，比例系 数为k，设初始位置为y=0，y轴竖直向上，则运动方程为： ′′ ′ ( ) ′( ) my + ky + mg= 0,y0 = 0,y 0 = v. 试选择适当的特征尺度将模型无量纲化，并讨论 很小时近似求解的可能. k −1 −1 2 −1 解：注意到[t]= mk ，选取特征尺度t = mk ，x = v g 则方程可以化为： c c ⎧ 2̇̇ 2 ̇ δ x+δ x+1= 0 ⎪ kv ⎨x(0)= 0 其中δ = ， ⎪̇ mg