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运用运筹学和lingo对值班问题的初步探究 作者：张冬梅 颜 丽 金 鑫 摘要 本文主要从运筹学中的对偶问题求解方法、0-1模型以及lingo线性规划问题求解方法，对值班问题进行合理规划，此次建立的模型最大的特点就是不孤道而行，这样在解题过程中实现了互补不足作用，在具体的解题过程中,我们所采用两种解题方法,运筹学与lingo的解题方法，以便最终达到较为完善的方案。最终求出符合题目要求的解答，经过结果分析与验证，所得结果完全正确。 问题重述 某大学有四名大学生与两名研究生，对其进行值班安排，使得每天学生工作总时间14个小时，大学生每周值班时间不少于10小时，研究生每周不少于8小时，每个人每周值班不超过4次，每次不超过2小时，每天至多有三个人值班，并且每天至少有一名研究生。制定一个合理的值班表，使得支付的薪酬最少。 其他相关数据参考下表： 值班员代号 报酬（元/小时） 每天最多可安排的值班时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 1 10 6 0 6 0 7 12 0 2 10 0 6 0 6 0 0 12 3 9 4 8 3 0 5 12 12 4 9 5 5 6 0 4 0 12 5 15 3 0 4 8 0 12 0 6 16 0 6 0 6 3 0 12 问题分析及符号说明 在研究此问题中，若直接采用变量进行求解，但是会涉及到42（6行7列）个变量，运算量较大，不过我们可以观察表格可以得到，有16个变量是一直为零的，我们可以将这些变量进行剔除，余下16个变量，实际解答中虽计算量依旧很大，不过相比之下，简单些许。 此问题的最终目的是制定合理的值班表，使得所支付报酬最小，首先列出目标函数，其次根据已知条件列出线性相关不等式组，其中对于是否会安排学生值班，我们用0-1模型表示。在模型的求解过程中运用到运筹学中的对偶问题、线性规划、单纯形法来制定可实施性方案，并用matlab及lingo软件进行编程求解。 符号 说明 符号 说明 i i=1…6表示六个人 y 需付总报酬 j j=1…7表示星期 b(i,j) 学生i是否被安排工作 t(i,j) 表示每人每天安排的时间 C(i) 学生i每个小时的报酬 a(I,j) 表示每人每天最多工作的时间 其中：i=1,2,…,6;j=1,2,…,7. 模型假设 1．假设每位同学均能准时到达实验室，并且换班时间忽略不计； 2．假设每位同学的可工作时间不具有时刻性，也就是说每天可值班时间可以分配到任意时刻； 3.假设每位同学工作时长均为整数。 模型建立 目标函数： 约束条件： 媒介函数（bij）： 当＝0时， 0; 当≠0时,1 ； 模型求解 法一：运用运筹学中线性规划对偶问题求解方法 首先，观察上述约束条件，重要约束条件为前5个，后3个约束条件作为最终解的检验条件，这样易于将两类变量进行分离，又不是合理性，不违背科学性。 实际求解问题： 目标函数： 约束条件： ≠1 (i=1,2,…,6;j=1,2,…,7) (i=1,2,…,6;j=1,2,…,7) 将上述求最小值问题转化为其对偶问题： 原函数有42个未知数，42个系数，决定优化方案的13个式子（前三行），则目标函数有有13个变量（y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8,y9,y10,y11,y12,y13），42个式子，其中七个为等式，放置到后面进行考虑。 目标函数： Max z=10(y1+y2+y3+y4)+8(y5+y6)+14(y7+y8+y9+y10+y11+y12+y13) 关于等式，写成七个等式为： t11+t21+t31+t41+t51+t61 t12+t22+t32+t42+t52+t62 t13+t23+t33+t43+t53+t63 t14+t24+t34+t44+t54+t64 t15+t25+t35+t45+t55+t65 t16+t26+t36+t46+t56+t66 t17+t27+t37+t47+t57+t67 对于 6个不等式，7个变量进行对偶转化，得到有关6个变量，7个不等式的问题求解。 目标函数： Max z=10(y1+y2+y3+y4)+8(y5+y6) 约束条件中不等式： 注：此处未能进行公式成功转化 在基变量y1,y2,y3,y4,y5,y6中加入非基变量，使其转化为等式将目标函数添加项（非基变量）系数为0. 运用单纯形法求出可行解： Cj C1 C2 C3 C4 C5