数学物理方程--- 6 特征线法数学物理方程--- 6 特征线法.ppt

西安交通大学 数学与统计学院 第六章 特征线法 数学物理方程 本章中心内容 第6章 特征线法 特征线法求解一阶偏微分方程以及一维波动方程 Method of characteristics 一种基于特征理论的求解双 曲型偏微分方程组的似方法。它产生较早，19世纪末已经有效地 为人们所用。电子计算机出现以后，又得到了进一步的发展，在 一维不定常流和二维定常流等问题中得到了广泛的用。 特征线法也是求解偏微分方程的一种基本方法。其实质是沿偏微分方程的特征线积分以使方程的形式简化，从而使其求解称为可能。它不仅适用于线性偏微分方程，而且也是求解非线性方程的一种有效方法。 一、特征线法 结合一些具体的定解问题的求解，说明特征线方法的基本思想和求解方法。 第一节、一阶偏微分方程特征线法 例1 求解线性方法Cauchy问题 解 方程（1）的左端 是 的一阶偏导数的线性 组合。特征线方法的基本思想就是将其转化为 关于t的全 导数。 在这条直线 上，即 ，在这个直线上，上述 定解问题转化为 解之，得 又 ，则 此解法关键之处是找到直线 ，偏微分方程转化为 常微分方程。直线 称为一阶偏微分方程（1）的特征线 特征线 是方程 的解，方程 称为（1）的特征方程，其解就是（1）的特征线。 沿一阶偏微分方程的特征线将方程化为常微分方程，便是特 征线法的基本思想。 对定解问题（1）（2） 也可以用变量代换方法求解。具体做法是，做变换 则 即 代入 有 所以 即 对 两边积分，可得 其中， 为一个可微函数。 由 由方程（2） 得 即 所以 定义1 考虑下面一阶线性微分方程 注1 给出例1求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数 其中 、 和 、 均为自变量 、 的函数。 方程 称为(4)式的特征方程，其积分曲线称为(4)式的特征曲线。 c，即为特征线的初始值 。当参数 在 轴滑动时， (3)式的解曲线就织成了(1)式--(2)式的解曲面。 为了避免和常数c混淆，下面用变量 代替参数c。请记住： 变化相当于 在 轴上滑动。 例2 求解线性方法柯西问题 解 方程(6)式的特征方程为 而过点 的特征线就是下面问题的解 解之可得 。沿此特征线原定解问题(6)-(7)简化为 解出 最后，由特征线方程 易得该问题的解为 常数 (8)式中便得(6)式-(7)式的解为 将其代入到 练习 求下列Cauchy问题的解 解 第一步 求特征线。 特征线方程 的解为 第二步 化偏微分方程为常微分问题并求解。令 则 则 这个常微分方程初值问题的解为 又 所以 下面考虑一阶拟线性方程，即一阶导数的系数与未知函数 一阶拟线性方程柯西问题的一般形式为 有关。 方程(9)式有一个很直观的几何解释，在 的法 对曲面上任一点 三维空间中，(9)式的解可视为该空间中的一曲面 的 曲面在该点 向量为 而在曲面 上，过点 的曲线 在点 的切向 量为 。显然，向量 与 在点 相互 垂直。如记向量 则方程 (9)式恰好表示向量 与 在点 处相互垂直。因此，在曲面 第二节、一维波动方程的特征线法 考虑弦振动方程的Cauchy问题 这里是无界问题，可以用积分变换求解，下用特征线求解。 特征线族 即 可得 （3）称为特征方程 做变量代换 则 则（1）式变为 积分此方程，可得 其中f、g是两个任意函数，将变量 还原成x和t得 由方程 的（2）式，可得 对上面第二式两边积分 联立（A）（B）两式，可得 所以 例2 解 例1 解 西安交通大学 数学与统计学院 第六章 特征线法 数学物理方程