数学：2.2.1《圆的标准方程》课件(苏教版必修2)数学：2.2.1《圆的标准方程》课件(苏教版必修2).ppt

圆的标准方程 问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆. 问题2：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？ 圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小． 问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ （1）建立适当的坐标系，用有序实数对 (x,y)表 示曲线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件 p(M)； （3）用坐标翻译条件p(M)，列出方程f(x,y)=0； （4）化简方程f(x,y)=0； （5）证明化简后的方程为所求曲线的方程． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少． 用求曲线方程的一般方法来建立圆的标准方程： 解：设M(x,y)是圆上任意一点， x y O ． r M 据圆的定义有 |MC|=r C 由距离公式，得 两边平方，得 圆的标准方程 特点： 1、是关于x、y的二元二次方程,无xy项； 2、明确给出了圆心坐标和半径。 3、确定圆的方程必须具备三个独立条件,即a、b、r . 4、若圆心在坐标原点，则圆方程为 x2 + y 2 = r2 练习 1.写出下列各圆的方程： （1）圆心在圆点，半径是3； （3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3) （2）圆心在点C(3,4)，半径是 ； 点评：⑶中，可先用两点距离公式求圆的半径，或设 　　　　　　　，用待定系数法求解。 练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径 （1） （2） （3） （-1，2） 3 例1.求以C(1,3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。 解：因圆C和直线3x-4y-7=0相切， 所以圆心到直线的距离等于半径r， C x y O r 因此，所求的圆的方程是 练习3.已知一个圆的圆心在原点，并与直线 4x+3y-70=0相切，求圆的方程。 例2 已知圆O的方程为 ,判断下面的点在 圆内、圆上、还是圆外？ 解：①∵ ，∴点 在圆上； ②∵ ，∴点 在圆内； ③∵ ，∴点 在圆外。 ⑵ ，P在圆上， ，P在圆外， ⑴ ，P在圆内。 ⑶ 小结： 与圆 的关系判断： 例3已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点 M(x0,y0)的切线的方程。 分析(一)：设切线斜率为k，OM斜率为k1，则： 所以切线方程为： x0x+y0y=r2 x O M y P 当M在坐标轴上时，上面方程仍适用。 例3.已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点 M(x0,y0)的切线的方程。 x O M y P 分析(二)：设P为切线上任意一点，则OM⊥MP，所以： (x0，y0)·(x-x0，y-y0)=0 所以切线方程为：x0x+y0y=r2. P(x , y ) 由勾股定理： |OM|2+|MP|2=|OP|2 分析(三)： 在直角三角形OMP中 y x O x0x +y0 y = r2 例3.已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点 M(x0,y0)的切线的方程。 总结：过一点求圆的切线的方程 1、求经过圆上一点M（x0,y0）的切线的方程 ： （1）圆C的方程为： （2）圆C的方程为： 2、求经过圆外一点M（x0,y0）的切线的方程 。 常用求法简介： 练习4.写出过圆x2+y2=10上一点M 的切线的方程 练习5.已知圆的方程是x2+y2=1，求 （1）斜率等于1的切线的方程； （2）在y轴上截距是 的切线的方程。 例4：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m) y x 解：如图建立坐标系，设圆的方程是x2+(y-b)2=r2 (r0)。 y x 把P(0,4)、 B(10,0)代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 102+(0-b)2=r2 解得：b= -10.5 r2=14.52 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5 ≈14.36-10.5=