数集.确界原理数集.确界原理.ppt

此外,我们还常用到以下邻域 若数集S 有上界，显然它有无穷多个上界，而其中最小的一个上界常常具有重要的作用，称它为数集S 的上确界。同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。 思考题:[0,1]的上下确界分别等于几? (0,1)中的无理数构成的集合呢? 例3 设数集S有上确界,证明 定理1.1（确界原理）设S为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。 （证略） 注意：确界原理是极限理论的基础，应很好地去理解和消化。 例5 设A、B为非空有界数集, S＝A∪B.证明： （1） sup S ＝max{sup A , supB};（2） inf S ＝min{inf A, inf B}. 证 由于S＝A∪B,显然也是非空有界数集,因此S的上下确界都存在. （1）对任何x∈S ，有x∈A或x∈B，故x≤sup A 或x≤supB 从而x≤max{supA,supB}，故有supS≤max{supA,supB}； 另一方面，对任何x∈A，有x∈S ，故x≤supS， 所以supA≤supS ；同理又有supB≤supS ， 因此supS≥ max{supA,supB} 综上所述，即得supS＝max{supA,supB}。 * 二 数集.确界原理 一 区 间 与 邻 域 : 无限区间 邻域 去心邻域 二、有界集　确界原理 定义1 设S为R中的一个数集。若存在数M(L),使得对一切x∈S,都有x≤M（x≥L）,则称S为有上界（下界）的数集，数M(L)称为S的一个上界（下界）. 若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集.若S不是有界集，则称S为无界集。   M M2 M1 上确界 上界 m2 m m1 下确界 下界 下面给出数集的上确界和下确界的定义。 说明: S η x1 x2 x3 x4 x5 xn a x0 上、下确界的另一精确定义 定义 设S是R中的一个数集，若数 满足以下两条： （1）对一切 有 即 是数集S的上界； （2） 对任意 存在 使得 （即 η 是S的最小上界） 则称数η为数集S的上确界。 h e h - 0 x 记作 x e x + S 定义 设S是R中的一个数集，若数 满足以下两条： （1）对一切 有 即 是数集S的下界； （2） 对任意 存在 使得 （即 是S的最大下界） 则称数 为数集S的下确界。 记作 例2 设S=｛x|x为区间(0, 1)中的有理数｝,试按上下 确界的定义验证:supS=1, infS=0. 证 先验证supS=1 (1)对一切x∈S,显然有x≤1, 即1是S的上界. (2)对任何α＜1, 若α＜0,则任取x0∈S都有x0＞α; 若α＞0,则有有理数在实数集中的稠密性,在(α,1)中必有有理数x0, 即存在x0∈S,使得x0＞α. 类似地可以验证infS=0 注: (1)由上（下）确界的定义可知,若数集S存在上（下）确界,则一定是唯一的; (2)若数集S存在上、下确界，则有infS≤supS; (3)数集S的确界可能属于S也可能不属于S。 的充要条件是 证 必要性 设 则对一切x∈S,有 而 故 是数集S中的最大数,即 充分性 设 则 下面验证 (1)对一切x∈S,有x≤ , 则 从而满足 (2)对任何 只须取 的定义. 是S的上界; 即   例4 设A，B为非空数集，满足：对一切x∈A和 y∈B有x≤y。证明数集A有上确界，数集B有下确界，且supA≤infB。 由确界原理可知数集A有上确界,数集B有下确界。 而此式表明数supA 是数集B的一个下界, 证 由假设,数集B中任一数y都是数集A的上界， 数集A中任一数x都是数集B的下界, 对任何y∈B, y是数集A的一个上界, 又由上确界的定义知 supA 是数集A的最小上界, 故有supA ≤ y。 由下确界的定义知, supA≤infB。