数理方程课程总结 (精简)数理方程课程总结 (精简).ppt

* 考试时间：5月12日上午(第十三周周一) 考前集中答疑安排： 地点：科技楼南楼602（应用数学系办公室） 时间：5月11日全天 * 第2章主要内容 1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言： (适用有界区域、两个变量) 分离变量法、 固有函数法、 作辅助函数法 方程和边界条件齐次 方程非齐次，定解条件齐次 边界条件非齐次 * 几种常见的固有函数系的形式 (1) (2) (3) (4) 以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和 矩形域上的泊松方程是适用的。 圆域上的泊松方程对应的固有函数系为 (5) * (4) (3) (2) (1) 几种非齐次边界条件相应的辅助函数 的表达式： 以上4种辅助函数的情形对一维波动方程和一维热传导方程都适用。 注意特殊情形：课件中2.5节的例2’ * 2.对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言： ● 对圆域采用极坐标 ● 对于矩形域 采用直角坐标系 用分离变量法 第2章主要内容 * 3.对于二维泊松方程的边值问题而言： (P) (Q) 思路1 (1)找出此泊松方程的一个特解 令 (2)将泊松方程化成拉普拉斯方程 可用分离变量法求解问题(Q) 第2章主要内容 3.对于二维泊松方程的边值问题而言： (P) 思路2 将问题(P)的解看成两部分， 令 和 分别满足 第2章主要内容 * 3.对于二维泊松方程的边值问题而言： (P) (P1) (P2) 和 固有函数法 分离变量法 第2章主要内容 * 第5章主要内容 (贝塞尔函数的应用)分离变量法的想法 1. 阶贝塞尔方程的固有值问题 阶贝塞尔方程的通解可表示为 固有值和固有函数分别为 (33) (32) * 第5章主要内容 (25) (26) 2. 阶贝塞尔函数的递推公式 (27) (28) 特别的， (29) * 第5章主要内容 3. 傅里叶-贝塞尔级数 (42) 其中系数 由下式确定 (43) 4. 贝塞尔函数的应用(分离变量法)，书上例子 * (3) (4) (18) 1 无限长弦自由振动问题 的达朗贝尔解为公式 (13) 其中方程(3)的通解形式为 行波法或达朗贝尔解法 第3章主要内容 (适用无界区域) * 2 无限长弦强迫振动问题 的解为公式 (1) (2) (26) 第3章主要内容 3. 会应用傅氏变换和拉氏变换求解定解问题 书上例子很重要 * 书上例子中出现的傅里叶变换或逆变换 1. 2. 3. 4. 5. * 几类常见的拉普拉斯变换或逆变换 1. 3. 4. 特别的， 2. 5. 延迟定理的逆变换形式 * 二维、三维拉普拉斯方程的基本解分别为 1 2 (6) 空间上格林第二公式 第4章主要内容 (6’) 平面上格林公式 二维、三维拉普拉斯方程边值问题 * (8) 3 调和函数的积分表达式(三维情形) 二维情形下，调和函数的积分表达式 第4章主要内容 (8’) * 性质1 (12) 调和函数的基本性质 4 设函数 它在 上连续，且不为常数， 则 内的调和函数， 是区域 性质3 它的最大值、 最小值只能在边界 上达到 (极值原理)。 性质2 (13) (平均值定理) 第4章主要内容 利用极值原理证明拉普拉斯方程或泊松方程 狄利克雷问题解的唯一性。 5 补充：学会结合极值原理和狄利克雷问题解的唯 一性处理问题（例如格林函数性质5、 习题四第8题等） * (19) (17) 其中 如果三维拉普拉斯方程的狄利克雷问题 上具有一阶连续偏导数的解存在的话， 在 那么问题(19)的解可表示为 (20) 6 * (19’) 如果二维拉普拉斯方程的狄利克雷问题 上具有一阶连续偏导数的解存在的话， 在 那么问题(19’)的解可表示为 (20’) (17’) 其中 7 * 求解上半空间 内的狄利克雷问题 (23) (22) 上半空间的格林函数为 (24) 得到定解问题(22)(23)的解 (26) 8 * 求解上半平面 内的狄利克雷问题 (23’) (22’) 上半平面的格林函数为 (24’) (26’) 解的积分表达式 9 求解球域上的狄利克雷问题： (28) (27) 其中 是以 边界为 为心， 球域上的格林函数为 为半径的球域， 解的积分表达式为 10 (30) (31)