临界线上的RIEMANN．ZETA函数的定量估计.pdfVIP

第 34卷第 1期 华 北 水 利 水 电 学 院 学 报 Vo1．34 NO．1 2013年 2月 JournalofNorthChinaInstituteofWaterConservancyandHydroelectricPower Feb．20l3 DOI：10．3969／j．issn．1002—5634．2013．O1．032 临界线上的RIEMANN．ZETA函数的定量估计 范云艳 (华北水利水 电学院，河南 郑州 450045) 摘 要：运用 Euler—Maclaurin求和公式讨论函数单调性 以及求函数极值 的方法 ，将 YuanyouFCheng结论 中其 中一 项的系数由0．267调整为0．125，常数 由 1调整为 0．5，由此得到 了关于 RIEMANN．ZETA函数 临界线上的 一 些较小的t值的较好 的上界估计结果，这些结果可以用来估计素数之间的间隙大小． 关键词 ：RIEMANN—ZETA函数 ；Euler—Maclaurin求和公式；函数单调性 ；函数极值 中图分类号 ：O156．4 文献标识码 ：A 文章编号 ：1002—5634(2013)O1—0126—03 RIEMANN。ZETA函数是数学核心问题之一 ，也 黎曼猜想是数学 中最引人关注的问题之一 ，至 是数论的一个重要研究 内容 ，对其临界值 的估计 曾 今尚未得到解决．黎曼猜想 阐述的正是 (s)的所有 吸引了国内外众多知名数学家的兴趣． 非平凡零点都在临界线Res=rO=÷上的问题．数 1 研究背景 学中另一个 尚未得到解决 的问题是关于 (s)在临 当Res=rO 1时，函数定义为 界线上的界的Lindel~f猜想．Lindel 猜想是：对于任 ∞ 1 意的 (s)=∑÷ (1) n l b s0，(1／2+it)=O(ftf)， (2) (S)在除了s=1这个一阶简单极点外都是解析的， 对所有的 t≠0均成立 ，这里 O(·)是 绝对常量． 通过解析延拓可将式 (1)推广至整个复平面 s∈C． Littlewood 在 广 义 黎 曼 猜 想 下 证 明 了 RIEMANN．ZETA函数在整个分析学科乃至整 Lindel 猜想 ． 个数学 中扮演着重要的角色．最典型的例子就是关 文中主要讨论临界线 Res= =1／2上 ZETA 于整数中素数的分布情况及 Zeta函数 (S)在0≤ 函数 (S)的定量估计．当Res=or0，N ≥1时， Res≤1区域中非平凡零点 的分布情况． RIEMANN—ZETA函数 (s)可表述为 对RIEMANN—ZETA函数 (s)的非平凡零点的 cs，= N + 一 ÷Ⅳ～+s d 研究是数论中一个重要的内容 ，曾吸引了国内外众 多知名数学家．对于 RIEMANN-ZETA函数 (s)的 (3) 非显然零点的分布情况 ，一些数学家进行 了实际的 其中P()=÷ 一{u}． 计算．1903年 ，Gram计算出了前 10个零点 ¨；1914 年 ，R．J．Backlund将零点的计算推进到 了前 79个 ； 为了得到 (1／2+it)的上界估计 ，数学家们付