易拉罐形状和尺寸的最优设王小妹 李梅易拉罐形状和尺寸的最优设王小妹 李梅.doc

易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要 本文通过对多种易拉罐的测量和分析，建立并分析了关于易拉罐形状和尺寸的最优设计模型。 模型一.， 我们首先求出了在体积一定，表面积最小的情况下，易拉罐的高与半径比为1：2，通过比较测量数据，“红牛”的外形与所求结果基本相符，但“可口可乐”等绝大多数与实际测量值不相符，这说明材料厚度是设计时不可或缺的条件。这样求得高与半径比为1：4，这与大多数的易拉罐测量值相符合。有些易拉罐考虑到饮料产生的压强，则侧面与底面的厚度不可同一而论。相对铝制易拉罐而言铁制易拉罐不可一次冲压而成，所以还要以焊接接口的工作来判断优劣。我们再次通过极值法做出判断，即焊缝长度最短为最优。 模型二，考虑易拉罐上部的正圆台对模型一最优设计的影响，给出此情况下的最优设计。设圆柱体的半径为已知量，圆柱的高和圆台的高与半径为变量。在总体积是定值的限制下，求极值，得到使表面积最小时圆台的半径与高的关系。 模型三，模型的设计比模型二更完善，相对于其他模型更贴近于实际。此模型考虑到了易拉罐内部底面受压强影响，因而将底面设计成向里凸起的圆弧形，在体积一定的约束下，圆台部分体积一定要增大，此种情况下求出其最优解。 我们通过分析、计算设计出一新模型，同样达到减小易拉罐表面积的效果。因在同体积的容器中球体的表面积最小，在同材料的容器中球形的体积最小，我们由此入手分析。分别截去球体的两个对应的球缺，通过分析计算，得到易拉罐的最优设计综合考虑压强、环保以及材料最省，设计了一种兼顾各种优点的新型易拉罐。 关键词：易拉罐 函数极值 数值计算 尺寸最优设计 一 问题重述 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 我们在研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题中，需要完成以下任务： 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。 什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。 二 问题分析 求易拉罐的最优设计，此问题属于优化过程中一元函数求极值的问题。 在问题二中，题目假设了易拉罐为一个正圆柱体，我们首先从经济学角度考虑，1） 易拉罐的容积 2） 易拉罐侧面罐体材料的体积 3） 易拉罐顶部罐体材料的体积 4）易拉罐底部罐体材料的体积 5) 易拉罐罐体材料的总体积 6) 易拉罐的表面积 7) 易拉罐的高 8) 第三问中易拉罐圆台的高 9) 第三问中易拉罐圆柱体的高 10)易拉罐底部凸其部分高度 11) 易拉罐圆柱罐体的半径 12)第三问中易拉罐上部圆台的小端半径 13)易拉罐的壁厚 14)比例系数 15) 焊接缝长度 16)圆台的母线长 17)球的直径 18)球上表面球缺高度 19）球下表面球缺高度 五 模型的建立与求解 当易拉罐罐体为正圆柱体时的最优设计 由于考虑到成本的问题，所以最优设计首先要在容积固定的时候，易拉罐的哪种形状所用原料最省，我们利用多面体和旋转体的表面积和体积公式，计算出了每种包装的实际容积和表面积，通过计算我们发现，“红牛”标注的体积和实际体积都比“露露”的大，而表面积却比“露露”的小，所以就可以转换成了这样一种数学问题：当体积不变, 圆柱的表面积最小时，半径与高满足什么样的关系？我们用一元函数极值的方法来解决。 求临界点，令其导数为零，得： 代入H中得： 经过计算，我们得出当表面积最少时，圆柱体高度等于2倍半径。即罐体的轴截面为正方形，罐体表面积最小 。通过观察数据（见附录）发现，只有“红牛”的包装很接近于等边圆柱。 经过进一步的观察，我们发现“露露”和“红牛”用的是薄铁材料，而“可口可乐”用到的是薄铝材料，“露露”和“红牛”的易拉罐是焊接，“可口可乐”的易拉罐是一次冲压制成的，各个壁的厚度不同