最短路模型最短路模型.pptVIP

* 一、引例 例1：已知如图所示的单行线交通网，每弧旁的数字表示通过这条单行线所需的费用。现在某人要从v1出发通过这个交通网到v8 ，求使总费用最小的旅行路线。 对于有向图G 或无向图G 的每一条边e ，附加一个实数w(e),则称w(e)为边e 上的权，当e=(vi,vj)时，w(e)也可记为wij 。G 连同其各边上的权称为带权图，带权图常记为G=V,E,W。 最短路问题：设G 是带权图，vs,vt是G 的两个顶点，P是G 中从vs到vt的一条通路，定义路P 的权为P 中所有边的权之和，记为w(P)。最短路就是在所有从vs到vt的路中，求一条权最小的路，即求一条从vs到vt的路P0,使 v6 v5 v4 v3 v2 v1 v9 v8 v7 3 10 4 6 10 2 2 1 6 1 2 3 4 2 6 3 上式中对G 中所有从vs到vt的路P 取最小，称P0为从vs到vt的最短路。路P0的权称为从vs到vt的距离，记为d(vs,vt),显然d(vs,vt)与d(vt,vs)不一定相等。 二、最短路算法 设G=V,E,W为n阶带权图，wij?0,若vi与vj 不相邻，令wij=∞ 标号法：标号法是由E.W.Dijkstra于1959年提出来的，其基本思想是：从vs出发，逐步地向外探寻最短路。在执行过程中，与每点对应，记录下一个数（称为这个点的标号），它或者表示从vs到该点的最短路的权（称为P 标号），或者表示从vs 到该点的最短路的权的上界（称为T 标号），方法的每步是去修改T 标号，并把某个T 标号的点改变为具有P 标号的点，从而使G 中具有P 标号的顶点数多一个，这样，至多经过p－1步，就可以求出从vs到各点的最短路。 以引例为例，说明标号法的基本思想。 s =1,因所有wij?0，故d(v1,v1)=0, 这时v1 是具有P 标号的点。 v6 v5 v4 v3 v2 v1 v9 v8 v7 3 10 4 6 10 2 2 1 6 1 2 3 4 2 6 3 考察从v1出发的三条弧(v1,v2), (v1,v3), (v1,v4) 。如果从v1出发沿(v1,v2)到达v2,则需要d(v1,v1)+w12=6单位费用；如果 从v1出发沿(v1,v3)到达v3 ，则需要d(v1,v1)+w13=3单位费用；类似地若沿(v1,v4)到达v4 , 则需要d(v1,v1)+w14=1单位费用。由于 min {d(v1,v1)+w12 , d(v1,v1)+w13 , d(v1,v1)+w14}= d(v1,v1)+w14=1 所以从v1出发到达v4所需要的最小费用必定是1单位，即从v1到v4的最短路是(v1,v4) ，d(v1,v4)=1 。v4 变成具有P 标号点。 考察从v1及v4指向的其余点的弧，由上已知，从v1出发分别沿(v1,v2)，(v1,v3) 到达v2,v3, 所需6 ，3单位费用，而从v1出发沿(v1,v4)和(v4,v6)到达v6 ,所需费用是d(v1,v4)+w46=1+10=11单位。因为 min {d(v1,v1)+w12 , d(v1,v1)+w13 , d(v1,v4)+w46}= d(v1,v1)+w13=3 所以从v1出发到达v3所需要的最小费用必定是3 单位，即从v1到v3的最短路是(v1,v3) ，d(v1,v3)=3 。v3变成具有P 标号点。如此重复此过程，可以求出从v1到任意一点的最短路。 几个记号：用P ，T 分别表示某点具有P 标号，T 标号，用Si 表示第i 步时具有P 标号点的集合。在每个点v 处给一个?值? (v) 。如果算法结束时， ?(v) =m ，表示从vs 到v 的最短路上，v 的前一个点是vm ；如果?(v) =M ，则表示G 中不含从vs 到v 的最短路；如果 ?(v) =0，则表示v =vs 。 Dijkstra方法的步骤： 开始（i =0）令S0 ={vs },P(vs )=0 , ?(vs) =0 ,对每个v ≠vs ,令T(v)=+?, ? (v)=M ，令k = s 。 （1）如果Si =V ，算法终止，这时，对每个v ?Si ,d(vs ,v) =P(v);否则转（2） （2）考察每个使(vk ,vj)? E ,且vj ?Si 的点vj 。 如果T(vj)P(vk) +wkj ,则把T(vj) 修改为P(vk) +wkj ,把? (vj) 修改为k；否则转入（3） 。 v6 v5 v4 v3 v2 v1 v9 v8 v7 3 10 4 6 10 2 2 1 6 1 2 3 4 2 6 3 i=0 : S0={v1} , P(v1) = 0 , ? (v1) =0 , T(vi)=+?, ? (v) =M ,(i =2,3, …,9) , k=1 (