有理真分式部分分式分解的证明及系数公式有理真分式部分分式分解的证明及系数公式.pdf

第 3O卷第 2期 大 学 数 学 VoI．30，№ ．2 2014年 4月 CoLLEGEM ATHEM ATICS Apr．2014 有理真分式部分分式分解的证 明及系数公式 傅莺莺 (北京工商大学 理学院，北京 100048) [摘 要]基于多项式知识给出了有理真分式部分分式分解定理的一个简洁的构造性证明．此外，还对分 解系数的计算方法进行总结，给 出了赋值法、极限法与导数法 的全部计算公式．结果表明，利用极限法与导数 法都能求 出全部分解系数 ，且导数法 的计算公式更简单、易算． [关键词]有理函数；部分分式 ；系数公式；导数 [中图分类号]0172．2 [文献标识码]C [文章编号]1672—1454(2014)02—0082—06 1 引 言 在高等数学 中，经常遇到计算有理函数的高阶导数、幂级数展开、以及不定积分等 问题．除了极其 简单或特殊情况 以外 ，这类问题都要用有理真分式的部分分式分解来解决．然而，数学教材 中通常只介 绍分解定理的结果而不提证明，并且．对于如何确定分解系数都只给出了单一 的待定系数法[1]，有待进 一 步讨论的问题很多． 对于有理真分式的部分分式分解定理，文献[3]给出了一个基于数学分析技巧和方法的证 明，文献 [4]通过对分母多项式的次数归纳进行证 明，过程都较繁琐．本文拟用多项式知识构造性地完成其证 明，过程较简单．至于分解系数的确定 ，文献[5—8]等展开了研究，其中有 的针对某些特殊有理 函数，有 的单从某一角度提出了某种算法 ，有的提 出用泰勒公式、留数等概念进行计算．所用 的方法看似很多， 但本质不外乎待定系数法 、赋值法、极限法和求导法 ；得到 的公式虽然很多，但形式不统一且结果不完 整．有鉴于此 ，本文完整地给出了运用赋值法 、极限法与导数法求分解系数 的计算公式． 2 有理真分式部分分式分解的存在唯一性证明 引理 1 设 lP~k／x)、为一有理真分式， 其中Q()一Q (z)Q (Iz)…Q ()且 Q ”，Q 互素，则存在唯 一 一 组多项式 P ()，P ()，…，P (z)，使得 一 里 + 生 …+ Q(z) Q1(z) 。Q2() 。 。Q ()．’ 其中，…，毒为真分式· 证 显然只需证明 s一2的情形 ，当s 2时递归应用 5===2的结论即可． 设 Q()一Q (z)Q。(z)且 Q ，Q。互素 ，则存在多项式 S (z)，S (z)使得 1一 SQ +SQ ，从而 P P(SQl+S2Q PS2 PS1 — 一 Q Q Q ’Q ‘ L收稿 日期]2o13～02-27 [基金项 目] 国家 自然科学基金资助项 目61304155) 第2期 傅莺莺：有理真分式部分分式分解的证 明及系数公式 83 令 PS2，PS1分别除以Q1，Q2得 PS2一R1Q +P1，PS1= R2Q2+P2，则 P Q一(R+R。)+-~1P2-一P1十P2， 其中 ， 为真分式 · 上式最后一个等号成立是因为 P与 P1P2均为真分式 ，