概率论与数理统计(茆诗松)第四章讲义概率论与数理统计(茆诗松)第四章讲义.pdf

第四章 大数定律与中心极限定理 本章主要是解决概率论中的一些基本问题，如频率稳定性，正态分布的普适性问题． §4.1 特征函数 现实生活中，独立随机变量和广泛存在，它在概率论中具有重要地位，但其分布的计算需要用到卷积 +∞ 运算．而函数f (x) 的傅立叶变换 itx （其中 是虚数单位）可将函数复杂的卷积运 ϕ(t) ∫−∞e f (x)dx i −1 1 +∞ 算转换为简单的乘法运算，并且可用傅立叶逆变换将ϕ(t) 还原为f (x) 2 π∫−∞e−itx ϕ(t)dx ． 对连续随机变量X 的密度函数p (x) 作傅立叶变换，就是数学期望E (e itX ) ，将该期望值称为随机变量 X 的特征函数． 4.1.1 特征函数的定义 定义 设X 是一个随机变量，称ϕ(t) = E (e itX ) ，（−∞ t +∞）为X 的特征函数（Characteristic Function ）； 又称M (u) = E (e uX ) ，（−∞ u +∞）为X 的矩母函数（Moment-generating Function ）． 由欧拉公式e iθ = cosθ + i sinθ 可知 | e itX | = 1 ，所以特征函数ϕ(t) = E (e itX ) 总是存在． 对于离散随机变量，设X 的概率函数为P {X = k} =p k ，k = 1, 2, …，则X 的特征函数为 +∞ itxk ϕ(t) ∑e p k , −∞t +∞． k 1 对于连续随机变量，设X 的密度函数为p (x) ，则X 的特征函数为 +∞ itx ϕ(t) ∫−∞e p (x)dx, −∞t +∞． 常用分布的特征函数 （1）单点分布：概率函数P {X = k} = a ，特征函数为 ϕ(t) eiat ； （2 ）0-1 分布：概率函数P {X = 1} = p ，P {X = 0} = 1 −p ，特征函数为 ϕ(t) eit ×1⋅p +eit ×0 ⋅(1−p ) p eit +(1−p ) ； λk −λ （3 ）泊松分布P(λ) ：概率函数P {X k } e , k 0, 1, 2, L，特征函数为 k ! +∞ k +∞ it k ikt λ −λ −λ (λe ) −λ λeit λ(eit −1) ϕ( ) e ⋅ e e ⋅ e ⋅e e ； t ∑ ∑ k 0 k !