概率论与数理统计 7.1 点估计与最大似然估计概率论与数理统计 7.1 点估计与最大似然估计.ppt

最大似然法：似然函数为： *兰州交通大学博文学院 *兰州交通大学博文学院 *兰州交通大学博文学院 第七章、参数估计 7.1、点估计与最大似然估计 7.2、估计量的评选标准 7.3、区间估计 7.1点估计与 最大似然估计 1、点估计的概念 2、矩估计法 3、最大似然估计法 在实际问题中，X的分布形式往往是已知的，但分布 中含有一个或几个未知的参数。问题是如何利用总体 的一个样本( X1 , X2 , … , Xn )给出参数的一个估计值， 这就是所谓的参数的点估计问题。先复习一个有关的 概念：矩 引言 总体矩 样本矩 E(X)=E(X1)= μ1称为一阶总体原点矩， E(X2)= μ2 称 二阶总体原点矩，· · · E(Xk)= μk 称为k阶总体原点矩。 同样地，D(X)=E(X-E(X))2 称为二阶总体中心矩， · · · ，E(X-E(X))k 称为k阶总体中心矩。 类似地，有k阶样本原点矩， 样本k阶中心矩： 一、点估计的概念: 1、定义7.1: 设总体 X 的分布函数为 F( x , θ ), 其中θ 为 未知参数 . 从总体 X 中抽取样本 X1 , X2 , … , Xn , 其观测值为 x1 , x2 , … , xn . 估计量和估计值统称为点估计 . 二、矩估计法: 1、矩估计法: 因很多分布中总体的数学期望与方差均是分布中 的参数或是参数的某个函数 , 于是就设想 令样本矩与总体矩相等, 再利用总体矩与 参数之间的关系, 导出参数的一个点估计 的方法, 称为矩估计法 .即用样本矩替代同阶的 总体矩。具体来讲用 2、矩估计法解题的主要步骤: 解方程组即得 未知 . X1 , X2 , … , Xn 是来自 X 的样本, 例1： 设总体 X 在[a , b]上服从均匀分布, a , b 解 本分布中含有两个未知参数, 故令 求a , b的矩估计量. 由于 X 在[a , b]上服从均匀分布, 所以 解方程组, 得 例2、设有一批同型号的灯管，其寿命（单位：h） 服从参数为λ的指数分布，今随机抽取其中11只，测 得其寿命数据如下： 110,184,145,122,165,143,78,129,62,130,168 (1)用矩估计法估计λ的值；(2)求总体的平均寿命 解：(1)、 三、最大似然估计: 1、设总体X为连续型随机变量，其密度函数为f(x, θ) 求（1）：样本的联合密度； （2）：θ的估计值。 （2）根据经验一次试验中概率大的事件比概率小 的事件容易发生。在已经得到试验结果的情况下， 应该寻求使这个结果出现的可能性最大的估计值作 为总体参数的估计值。 利用微积分中求极值的思想，只要令 这种点估计的方法称为最大似然法。 X为离散型时类似。 例3、 现有一批产品, 设 p 是产品的次品率, 现估 计 p 的值 . 为此作放回抽样, 共 10 次 . 若 10 次试验的结果是样本观测值 (x1 , x2 , … , xn) = (1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0) , 则有 最大似然法的基本思想是在已经得到试验结果的 情况下, 寻找使这个结果出现的可能性最大的 值作为真 p 的估计 . 于是 设 ( X1 , X2 , … , Xn ) 为来自总体 X 的样本 , 1、若 X 为离散型随机变量, 其分布律为 X 的分布类型已知, 参数 θ 未知 . 则样本 ( X1 , X2 , … , Xn ) 的分布为 称 L(θ )为似然函数, 选择θ 使L(θ )达到最大 值的θ 值作为真θ 的估计 . 2、若 X 为连续型随机变量, ( X1 , X2 , … , Xn ) 的密度函数为 称 L(θ )为似然函数, 选择θ 使L(θ )达到最大 值的θ 值作为真θ 的估计 . 其密度函数为 f (x ;θ ), 则样本 这种点估计的方法称为最大似然法 . 例4、设总体 X～B(m , p), X1 , X2 , …, Xn 是 X 的一个样本, 求 p 的极大似然估计 . 解 由于 X～B(m , p), 有 作似然函数 例5、设总体 X～N(μ ,σ 2), 获得样本 X1 , X2 , …, Xn , 求 μ 及 σ 2 的极大似然估计 . 解 由于总体 X～N(μ ,σ 2), 作似然函数为 将似然函数关于 μ 及 σ 2 求偏导, 得 故 μ 及 σ 2 的极大似然估计值 估计值 . 其中θ-1是未知参数， 分别用矩估计法和最大似然估计法求 的估计量 *兰州交通大学博文学院 *兰州交通大学博文学院