正定二次型正定二次型.ppt

* 正定二次型 一 正定二次型的定义 1 定义 设 为实二次型，若对任何 都有 则称二次型是正定的 （负定的）， 并称其对应的矩阵 为正定矩阵 例 是正定的 不是正定的 （负定矩阵） 。 注 为实二次型，若对任何 都有 则称二次型是半正定的 （半负定的）， 并称其对应的矩阵A为半正定矩阵 设 2 二次型的正定性与可逆线性变换 设有实二次型 定理 经可逆线性变换 得 其中 则 是正定的当且仅当 是正定的 （半负定）矩阵。 注: 可逆线性变换不改变二次型的正(负)定性. 证明： 必要性： 记 为 即 由 可逆矩阵可知道 又 故 是正定的。 对任意的 记 为 即 由 可逆矩阵可知道 又 故 是正定的。 充分性： 其中 对任意的 二 正定的判断方法 1：惯性指数判别法 为正定的当且仅当f n 元实二次型 定理 的正惯性指数 推论 矩阵A是正定的当且仅当A的全部特征值均为正 例 设n 阶矩阵A是正定矩阵， 证明 （m为正整数）也正定矩阵 注 为负定的当且仅当 n 元实二次型 的负惯性指数为 2 主子式判别法 （1）定义 设n 阶方阵 方阵A的前k行和前k列所成的子式 称为矩阵A的k阶主子式 （2） 为正定的当且仅当 n 元实二次型 定理 对称矩阵A的各阶主子式都大于零。 注 为负定的当且仅当 n 元实二次型 对称矩阵A的各阶满足 证明： 为负定的当且仅当二次型 即二次型 为正定的。 显然二次型 的k阶主子式为 故由定理可得。 例1 二次型 为t满足什么条件时，二次型是正定的； t满足什么条件时， 二次型是负定的； 解： 二次型矩阵为 则 当 即 时二次型是正定的 当 即 时二次型是负定的 例2 判断二次型 是否是正定的。 3 定义法 例3 设矩阵A,B矩阵正定矩阵，证明 均是正定矩阵。 证明： 对任意的 故 是正定矩阵。 对任意的2n维 记 其中 为n维向量 由 可得 或 故 例4 设 满足 证明 是正定二次型矩阵。 证明： 故A是对称矩阵。 对任意的 由 可得 记 则 故 是正定二次型矩阵。 *