求N!的高精度算法求N!的高精度算法.ppt

求N!的高精度算法 本文中的算法主要针对Pascal语言 这篇文章的内容 你了解高精度吗？ 你曾经使用过哪些数据结构？ 你仔细思考过如何优化算法吗？ 关于高精度 Pascal中的标准整数类型 高精度算法的基本思想 Pascal中的标准整数类型 高精度算法的基本思想 Pascal中的标准整数类型最多只能处理在-263～263之间的整数。如果要支持更大的整数运算，就需要使用高精度 高精度算法的基本思想，就是将无法直接处理的大整数，分割成若干可以直接处理的小整数段，把对大整数的处理转化为对这些小整数段的处理 数据结构的选择 每个小整数段保留尽量多的位 使用Comp类型 采用二进制表示法 每个小整数段保留尽量多的位 一个例子：计算两个15位数的和 方法一 分为15个小整数段，每段都是1位数，需要15次1位数加法 方法二 分为5个小整数段，每段都是3位数，需要5次3位数加法 方法三 Comp类型可以直接处理15位的整数，故1次加法就可以了 比较 用Integer计算1位数的加法和3位数的加法是一样快的 故方法二比方法一效率高 虽然对Comp的操作要比Integer慢，但加法次数却大大减少 实践证明，方法三比方法二更快 使用Comp类型 高精度运算中，每个小整数段可以用Comp类型表示 Comp有效数位为19～20位 求两个高精度数的和，每个整数段可以保留17位 求高精度数与不超过m位整数的积，每个整数段可以保留18–m位 求两个高精度数的积，每个整数段可以保留9位 如果每个小整数段保留k位十进制数，实际上可以认为其只保存了1位10k进制数，简称为高进制数 ，称1位高进制数为单精度数 采用二进制表示法 采用二进制表示，运算过程中时空效率都会有所提高，但题目一般需要以十进制输出结果，所以还要一个很耗时的进制转换过程。因此这种方法竞赛中一般不采用，也不在本文讨论之列 算法的优化 高精度乘法的复杂度分析 连乘的复杂度分析 设置缓存 分解质因数求阶乘 二分法求乘幂 分解质因数后的调整 高精度乘法的复杂度分析 计算n位高进制数与m位高进制数的积 需要n*m次乘法 积可能是n+m–1或n+m位高进制数 连乘的复杂度分析（1） 一个例子：计算5*6*7*8 方法一：顺序连乘 5*6=30，1*1=1次乘法 30*7=210，2*1=2次乘法 210*8=1680，3*1=3次乘法 方法二：非顺序连乘 5*6=30，1*1=1次乘法 7*8=56，1*1= 1次乘法 30*56=1680，2*2=4次乘法 连乘的复杂度分析（2） 若“n位数*m位数=n+m位数”，则n个单精度数，无论以何种顺序相乘，乘法次数一定为n(n-1)/2次 证明： 设F(n)表示乘法次数，则F(1)=0，满足题设 设kn时，F(k)=k(k-1)/2，现在计算F(n) 设最后一次乘法计算为“k位数*(n-k)位数”，则 F(n)=F(k)+F(n-k)+k (n-k)=n(n-1)/2（与k的选择无关） 设置缓存（1） 一个例子：计算9*8*3*2 方法一：顺序连乘 9*8=72，1*1=1次乘法 72*3=216，2*1=2次乘法 216*2=432，3*1=3次乘法 方法二：非顺序连乘 9*8=72，1*1=1次乘法 3*2=6，1*1=1次乘法 72*6=432，2*1=2次乘法 设置缓存（2） 考虑k+t个单精度数相乘a1*a2*…*ak*ak+1*…*ak+t 设a1*a2*…*ak结果为m位高进制数（假设已经算出） ak+1*…*ak+t结果为1位高进制数 若顺序相乘，需要t次“m位数*1位数” ，共mt次乘法 可以先计算ak+1*…*ak+t，再一起乘，只需要m+t次乘法 设置缓存（3） 缓存的大小 设所选标准数据类型最大可以直接处理t位十进制数 设缓存为k位十进制数，每个小整数段保存t–k位十进制数 设最后结果为n位十进制数，则乘法次数约为 k/(n–k) ∑(i=1..n/k)i=(n+k)n/(2k(t–k))，其中k远小于n 要乘法次数最少，只需k (t–k)最大，这时k=t/2 因此，缓存的大小与每个小整数段大小一样时，效率最高 故在一般的连乘运算中，可以用Comp作为基本整数类型，每个小整数段为9位十进制数，缓存也是9位十进制数 分解质因数求阶乘 例：10!=28*34*52*7 n!分解质因数的复杂度远小于nlogn，可以忽略不计 与普通算法相比，分解质因数后，虽然因子个数m变多了，但结果的位数n没有变，只要使用了缓存，乘法次数还是约为n(n-1)/2次 因此，分解质因数不会变慢（这也可以通过实践来说明） 分解质因数之后，出现了大量求乘幂的运算，我们可以优化求乘幂的算法。这样，分解质因数的好处就体现出来了 二分法求乘幂 二分法求乘幂，即： a2