浙江省普通高中课程数学必修一.对数与对数运算浙江省普通高中课程数学必修一.对数与对数运算.ppt

对数与对数运算 1 思考： 问题1：解方程2x=4和2x=9是否有解？ 如有解写出它们的解. 2x=4有解:x=2 2x=9也有解，但表示不出来 它们都是已知底数和幂求指数问题 问题2：假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年时的2倍？ 假设经过x年国民生产总值是2002年时的2倍，根据题意有： a(1+8%)x=2a 即1.08x=2 这也是已知底数和幂的值，求指数的问题 也就是我们这节将要学习的对数问题 一般地,如果a(a0且a≠1)的b次幂等于N, 即 ab=N. 那么数b叫做以a为底N的对数. 记作: loga N=b 其中 a叫做对数的底数,N叫做真数 新课讲解 1.定义 含义是”等价于” 指数式与对数式的对比 式子 名称 a b N 指数式: a b =N 对数式: log a N=b 底数 指数 底数 对数 幂值 真数 对定义的几点说明: 1.为什么规定a0且a ≠1? 当a0时,则当N为某些值时,b不存在.如(-2)x=8无解, log(-2)8不存在 当a=0时,则 N≠0时,loga N不存在, N=0时, loga 0有无数个值,不能确定 当a=1时,则 N≠1时,b不存在(log1 2不存在), N=1时,b为任意数,不能确定 2.零和负数没有对数. 这是因为a0,ab=N0 3. loga N=b 其中 a0且a≠1 , N0 4.对数的三个重要性质: 1. loga 1=0 (∵a0=1) 2. loga a=1 (∵a1=a) 3. alogaN = N (∵设loga N=x,则ax=N,∴alogaN = N) 对数恒等式 例1.将下列指数式写成对数式 （1）54=625（2） （3）3a=27 解（1）log5625=4 例2.将下列对数式写成指数式 （1） （2）log2128=7 （3）loga0.01=-2 解（1） （2）27=128 （3）a-2=0.01 （2） （3）log327 =a 2．对数式与指数式的互换 ab=N loga N=b 3．介绍两种特殊的对数： 1.常用对数:对数logaN (a0且a≠1)在底数a=10时,叫做常用对数. 记作lgN. 例如: log103 简记作 lg3. 2.自然对数:对数logaN (a0且a≠1)在底数 a=e (e是一个无理数,e≈2.71828…)时,叫做自然对数. 记作lnN. 例如loge10 简记作 ln10. (设lg10=x 则10x=10, ∴x=1.∴lg10=1) 注:几个常见对数 (1) lg10=1 (2) lg2=0.3010 (3) lne=1 例3.求下列各式的值: 解: (1)设log416=x 则4x=16, (2)设log24=x 则2x=4, ∴x=2.∴log24=2 (3) ∴x=2.∴log416=2 例题分析 例4.求下列各式中的x （1）log7（x2-1）=0 点评：解对数方程要验根 5.求下列各式中的x 6.计算下列各式 例7.（1）已知loga2=m，loga3=n，求a 2m+n的值 （2） 解：（1）∵loga2=m， loga3=n ∴am=2，an=3 ∴a 2m+n=（am）2an =22×3 =12 （2） 知识探究 思考2:将log232＝log24十log28推广到一般情形有什么结论？ 思考1:求下列三个对数的值：log232， log24 ， log28．你能发现这三个对数之间有哪些内在联系？ 思考3:如果a0，且a≠1，M0，N0，你能证明等式loga（M·N）＝logaM十logaN成立吗？ 证明： 设 由对数的定义可以得： ∴MN= 即证得 对数的运算性质 下面我们一起来证明: 4.对数的运算性质 如果 a 0，且a ? 1，M 0， N 0 有： 说明: 2) 有时可逆向运用公式 3)真数的取值必须是(0,＋∞)