信号与系统PPT教学课件-第二章_连续系统的时域分析.ppt

第二章 连续系统的时域分析 2.3 卷积积分 一、卷积积分定义 h(t)的定义： 时不变性： δ(t -τ) h(t -τ) 齐次性： f (τ)δ(t -τ) f (τ) h(t -τ) 可加性： f (t) f(t)*h(t) δ(t) h(t) yzs(t) f (t) LTI系统 h(t) LTI系统框图： 定 义 2.3 卷积积分 已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分 为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 注 意：τ为积分变量，结果为t的函数。 即： 2.3 卷积积分 例：f1(t) = e t,（-∞t∞)，f2(t) = (6e-2t – 1)ε(t)，求卷积。 解： τ t 2.3 卷积积分 二、卷积的图解法 换 元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ) 反转平移：f2(τ)反转→ f2(–τ)，平移t → f2(t-τ) 乘 积： f1(τ) ? f2(t-τ) 卷积的图解过程 注 意：t为参变量。 积 分： * 信号与系统 青岛科技大学信息科学技术学院 第1-*页 电子教案 第二章 连续系统的时域分析 本章主要内容： LTI连续系统的响应 冲激响应和阶跃响应 卷积积分 卷积积分的性质 第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 第二章 连续系统的时域分析 基本思想 LTI连续系统的时域分析，归结为：——建立并求解线性微分方程。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。 一、微分方程的经典解 2.1 LTI连续系统的响应 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t) n阶常系数线性微分方程： 或缩写为： aj和bi均为常数，且an=1 2.1 LTI连续系统的响应 微分方程的经典解 y(t) = yh(t) + yp(t) 完全解 齐次解 特 解 齐次解是齐次微分方程的解： y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解与激励函数的形式有关，称为强迫响应。 2.1 LTI连续系统的响应 例 题 描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解； （2）当f(t) = e-2t，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解。 (1) 解: 求齐次解 齐次微分方程：y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = 0 其特征方程为：λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根为： λ1= – 2，λ2= – 3 齐次解为： yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t（由表2-1） 2.1 LTI连续系统的响应 求特解 由表2-2可知，当f(t) = 2e – t时，其特解可设为： yp(t) = Pe – t 将其代入微分方程得： Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1 ，于是特解为： yp(t) = e – t 全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t 待定常数C1,C2由初始条件确定： y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得 C1 = 3 ，C2 = – 2 最后得全解： y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t≥0 自由响应 强迫响应 (2) 解: 齐次解同(1) yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t 求特解 由表2-2知，其特解为： yp(t) = Pt e–2t 代入微分方程可得： Pe-2t = e–2t 所以 P = 1 全解为： y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t