信号与系统PPT教程-第四章 傅里叶变换.ppt

第四章 傅里叶变换 本章提要 傅里叶级数和傅里叶级数的性质 傅里叶变换和傅里叶变换的性质 周期信号和非周期信号的频谱分析 卷积和卷积定理 抽样信号的傅里叶变换和抽样定理 相关、能量谱和功率谱 §4.1 引言 一、傅里叶生平 1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示” 1829年狄利克雷第一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析理论”中 二、傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点 三、变换域分析 频域分析－－傅里叶变换，自变量为 j ? 复频域分析－－拉氏变换, 自变量为 S = ? +j ? Z域分析－－Z 变换，自变量为 §4.2周期信号的频谱分析 周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数： 三角函数式的 傅立里叶级数 {cosn?1t, sinn?1t} 复指数函数式的傅里叶级数 { e j n ?1t } 一、三角函数的傅里叶级数 狄利克雷条件： .在一个周期内只有有限个间断点； .在一个周期内有有限个极值点； .在一个周期内函数绝对可积，即 一般周期信号都满足这些条件. 三角函数是正交函数  周期信号的另一种三角函数正交集表示 比较几种系数的关系 周期函数的频谱： an,bn,cn和?n都是 n?1的函数。把cn（各频率分量的相对大小）对n?1的关系绘成线图，此图为信号的幅度频谱（幅度谱），图中每条线代表某一频率分量的幅度，称为谱线。?n对n?1的关系线图为信号的相位谱。因为cn和?n只在n?1 （各频率点且n=0）取值，所以周期信号的幅度谱与相位谱均为单边离散谱。周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出：各分量的大小，各分量的相移。 Cn 二、周期函数的复指数级数 周期复指数信号的频谱图 例 将全波整流信号f(t)=|sin ?t|展开成指数形式的傅里叶级数，并画出频谱图。 三、谱系数F(n)的性质 1.奇偶虚实性 若①f(t)为偶函数，那么F(n?1)为实函数（an?0，bn=0），f(t)的傅里叶级数只含有余弦项，相位为 ； ②f(t)为奇函数，那么F(n?1)为虚函数（ an=0，bn?0），f(t)的傅里叶级数只含有正弦项，相位 ； ③f(t)为非奇非偶，那么F(n?1)为复函数（an?0，bn?0），f(t)的傅里叶级数既含有余弦项，又含有正弦项。 四、周期信号的功率特性 P为周期信号的平均功率 符合帕斯瓦尔定理 五、傅里叶有限级数 如果完全逼近，则 n=∞ ; 实际中，n=N, N是有限整数。 如果 N愈接近 ∞ ，则 其均方误差愈小 若用2N＋1项逼近，则 误差函数和均方误差 误差函数 均方误差 例如对称方波：偶函数且奇谐函数 只有奇次谐波的余弦项。 对称方波有限项的傅里叶级数 N=1 N=2 N=3 有限项的N越大，误差越小例如: N=11 N越大，越接近方波 快变信号，高频分量，主要影响跳变沿； 慢变信号，低频分量，主要影响顶部； 任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真 有吉布斯现象发生 E/2 -E/2 T1/4 -T1/4 t * 直流 分量 基波分量 n =1 谐波分量 n1 直流系数 余弦分量 系数 正弦分量 系数 引入了 负频率 两种傅氏级数的系数间的关系 频谱图 同样可以画出复指数形式表示的信号频谱，因 F(n?1)一般是复函数，称为复数频谱。|F(n?1)|~ ?为复数幅度谱， ?n~ ?为相位谱。同样因为|F(n?1)|和?n只在n?1 取值，而n的取值可从-?到+ ?，因此指数形式表示的信号频谱为离散的双边谱。 注：应把指数形式表示的信号频谱的正、负频