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概率论与数理统计PPT教学课件-第13讲
概率论与数理统计 第十三讲 北京工业大学应用数理学院 §4.3 协方差与相关系数 对于二维随机向量(X,Y), 除了其分量X和Y 的期望与方差之外, 还有一些数字特征, 用以刻画X与Y之间的相关程度,其中最主要的就是下面要讨论的协方差和相关系数。 定义1:若 E{[ X-E(X)][Y-E(Y)]} 存在,则称其为X 与Y 的协方差,记为Cov(X,Y), 即 4.3.1 协方差 Cov(X, Y) = E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}. (1) (3). Cov(X1+X2, Y)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y) ; (1). Cov(X, Y) = Cov(Y, X); 协方差性质 (2). 设 a, b, c, d 是常数,则 Cov( aX+b, cY+d ) = ac Cov(X, Y) ; (4). Cov(X, Y) =E(XY)-[E(X)][E(Y)] , (5). Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X, Y) . 当 X 和 Y 相互独立时,Cov(X, Y)=0; 若 X1, X2, …, Xn 两两独立,则 性质(5)可推广到 n 个随机变量的情形: 协方差的大小在一定程度上反映了X 和Y相互间的关系,但它还受X 和Y 本身度量单位的影响。 例如: Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y). 为了克服这一缺点,对协方差进行标准化,这就引入了相关系数 。 4.3.2 相关系数 为随机变量X 和Y 的相关系数 。 定义2: 设Var(X) 0, Var(Y) 0, 则称 在不致引起混淆时,记 为 。 相关系数性质 证:由方差与协方差关系, 对任意实数b, 有 0≤Var(Y-bX)=b2Var(X)+Var(Y)-2b Cov(X,Y ), 令 则有 Var(Y-bX) = 由方差Var(Y)0, 知 1-ρ 2≥ 0, 所以 | ρ |≤1。 由于当 X 和 Y 独立时,Cov(X, Y)= 0 . 请看下例: (2). X 和Y 独立时, ρ=0,但其逆不真; 但ρ=0 并不一定能推出 X 和 Y 独立。 所以, 证明: 例 1:设 (X,Y) 服从单位 D={ (x, y): x2+y2≤1} 上的均匀分布,证明: ?XY = 0。 所以,Cov(X, Y)= E(XY)-E(X) E(Y) = 0 . 同样,得 E(Y)=0, 此外,Var(X) 0, Var(Y) 0 . 所以,?XY = 0,即 X 与 Y 不相关。 但是,在例3.6.2已计算过: X与Y不独立。 存在常数a, b(b≠0), 使 P{ Y = a+bX } = 1 ,即 X 和 Y 以概率 1 线性相关。 (3). |ρ|=1 但对下述情形,独立与不相关是一回事: 前面, 我们已经看到: 若X 与Y 独立,则X 与Y 不相关;但由X与Y 不相关,不一定能推出X与Y独立。 若(X, Y )服从二维正态分布,则X 与Y 独立的充分必要条件是X与Y不相关。 定义1:设X是随机变量, 若E(Xk) 存在(k =1, 2, …), 则称其为X 的 k 阶原点矩;若 E{[X-E(X)]k} 存在(k = 1,2, …), 则称其为X的 k 阶中心矩。 §4.3 矩与协方差矩阵 4.4.1 矩 易知:X 的期望 E(X) 是 X 的一阶原点 矩,方差Var(X) 是 X 的二阶中心矩。 定义2:设X和Y是随机变量, 若 E(XkYm) 存在(k, m=1, 2,…), 则称其为X与Y的 k+m 阶混合原点矩;若 E{[X-E(X)]k [Y-E(Y)]m}存在(k, m=1,2,…,则称其为X与Y的 k+m 阶混合中心矩。 4.4.2 协方差矩阵 将随机向量 (X1, X2) 的四个二阶中心矩 排成一个2×2矩阵 , 则称此矩阵为(X1, X2)的方差与协方差矩阵,简称协方差阵。 类似地,我们也可定义n 维随机向量 (X1, X2, …, Xn) 的协方差阵:若随机向量的所有的二阶中心矩 为(X1, X2, …, Xn) 的协方差阵。 存在, 则称矩阵 f (x1, x2, …, xn) 则称X服从n元正态分布。 其中C是 (X1, X2, …, Xn) 的协方差阵, |C|是C的行列式, 表示C的逆矩阵,
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