概率论与数理统计PPT教学课件-第10讲.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * 再由X 和Y 相互独立，得到 M = max (X,Y) 的分布函数为: 即 FM(z) = FX(z) FY(z) . FM(z)=P(M≤z) = P(X≤z, Y≤z) = P(X≤z) P(Y≤z) . 分析：由于 “M = max (X,Y) ≤ z” 等价于“X≤z, Y≤z”，故有 P(M≤z) = P(X≤z, Y≤z). 类似地，可得 N = min (X,Y) 的分布函数 下面进行推广到 n 个相互独立的随机变量的情况。 即有 FN(z) = 1-[1-FX(z)][1-FY(z)] = FX(z)+FY(z)-FX(z)FY(z) . = 1-P(Xz, Yz) FN(z) = P(N≤z) = 1-P(Nz) = 1- P(Xz) P(Yz) . 设X1, …, Xn 是 n 个相互独立的随机变量,分布函数分别为 用与二维时完全类似的方法，可得： N = min(X1,…,Xn)的分布函数为 M = max(X1,…,Xn)的分布函数为 特别地，当X1, …, Xn相互独立，且具有相同分布函数 F(x) 时，有 FM(z)=[F(z)] n ， FN(z)=1-[1-F(z)] n . 需要指出的是: 当X1, …, Xn相互独立，且具有相同分布函数 F(x) 时，常称 M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn) 为极值分布。 桥梁或铸件所承受的最大应力、洪峰的高度、地震的震级等都用极值分布来描述。故，研究极值分布有重要意义。 例 6：如图所示, 系统L 由两个相互独立的子系统 L1,L2 联接而成, 联接方式分别为: (1). 串联； (2). 并联； (3). 备用(开关完全可靠，子系统 L2在储备期内不失效，当L1.损坏时, L2开始工作)。 解：先求X, Y的分布函数 设L1,L2的寿命分别为X和Y，概率密度分别为: 其中?0, ?0, 且?≠?为常数。分别对以上三种联接方式写出系统寿命Z 的概率密度。 (1). 串联时，Z = min{X, Y}， FZ(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)] (2). 并联时， Z = max{X,Y} FZ(z) = FX(z)FY(z) 当 z 0时，有 (3). 备用时， Z=X+Y， 当 z≤0 时，fZ(z) = 0； 小结 这一讲首先介绍两个随机变量相互独立的概念，给出各种情况下两个随机变量相互独立的充要条件；然后介绍求两个随机变量和的分布、两个独立随机变量极大值分布和极小值分布的原理和方法。 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 概率论与数理统计 第十讲 北京工业大学应用数理学院 §3.6 随机变量的独立性 事件A与 B独立的定义是： 若 P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立 。 设 X, Y是两个随即变量, 对任意的 x, y, 若 则称 X与Y 相互独立。 用联合分布函数与边缘分布函数表示上式, 就是 其中 是(X,Y)的联合密度， 若 (X,Y) 是连续型随机向量 ，上述独立性定义等价于：对任意 x, y∈ R, 有 这里“几乎总成立”的含义是：在平面上除去一个面积为零的集合外，公式成立。 分别是X的边缘密度和Y 的边缘密度 。 几乎总成立, 则称X与Y相互独立 。 若 (X,Y)是离散型随机变量，则上述独立性定义等价于：对(X,Y) 所有可能取值 (xi , yj), 有 成立， 则称 X与Y 相互独立。 解: 例1: 考察例3.2.2(吸烟与肺癌关系的研究)中随机变量X与Y的独立性. 因 0.2?0.00017 ＝ P{X=0}P{Y=0} ≠ P{X=0, Y=0} ＝ 0.00013. 故，X和Y不相互独立。 证明：因 例2：设(X,Y)～N(?1,?2,?1,?2,?), 求证: X与Y 独立的充要条件为 ? = 0。 “?” 将?=0代入联合概率密度函数，得 所以，X与Y相互独立。 “?” 若X和Y相互独立，则 ?(x, y)?R2，有