概率论与数理统计PPT教学课件-第16讲.ppt

抽样分布的概念 样本统计量的概率分布称为抽样分布（sampling distribution） 样本是通过对总体的随机抽样获得的 样本统计量是随机变量，有一定的概率分布 抽样分布的概念 t 分布 t分布双侧分位数表：附表4（p. 279） 小结 本讲首先介绍数理统计中三个常用的重要统计量的分布 : χ 2分布、t 分布和 F 分布; 然后以定理的形式 (定理1) 给出了正态总体样本均值与样本方差的分布及其相关结论。 概率论与数理统计 第十六讲 主讲教师：李学京 北京工业大学应用数理学院 标准正态分布的上?分位数z?． z? ? ? 常用 数字 -z?/2＝z1-?/2 ?/2 ?/2 z?/2 ? -z?/2 ? 简单随机样本 抽样是完全随机的 - 总体中的每个个体都有相同的机会被抽中 抽样是彼此对立的 - 每次抽样的结果都不会影响到其他抽样的结果 原总体 样本1 样本2 样本n ?? ?? 新总体 n ? ? 统计量 §6.4 正态总体 6.4.1 χ 2 分布 它是由正态分布派生出来的一种分布。 定义1: 设 X1, X2, …, Xn 相互独立，且均服从正态分布 N(0, 1), 则称随机变量 服从自由度为 n 的卡方分布，记成 。 分布的密度函数为 由 分布的定义，不难得到其如下性质： 进一步，由中心极限定理可以推出, n 充 分大时, 近似于标准正态分布 N(0,1)。 分布密度函数图形 χn2 分布上? 分位点有表可查，见附表4。 对于给定的 ??(0,1), 称满足条件 的点 χn2(?)为 χn2分布的上(右)? 分位点。 分布分位点 t 分布的概率密度为 为服从自由度 n 的 t 分布，记为 T ～ tn。 6.4.2 t 分布 定义2: 设 X ～N(0, 1) , Y ～χn2 , 且 X与Y 相互独立，则称随机变量 t 分布的概率密度图形 当 n 充分大时，f (x; n) 趋近于标准正态分布的概率密度。 数学期望与方差 若 T ～tn , 对给定的? ?(0,1)，称满足条件 t 分布的分位点 的点 tn(?)为 tn 分布上? 分位点。 t 分布的上? 分位点有表可查，见附表3。 tn 分布上? 分位点示意图 6.4.3 F 分布 则称 F =(X/m)/(Y/n)服从第一自由度为m，第二自由度为n 的 F 分布。记成 F ~ Fm ,n 。 定义3： F 分布的概率密度为 若 F～Fm, n，对给定的? ?(0,1), 称满足条件 F 分布的分位点 的点 Fm,n(?)为F分布的上? 分位点。. F 分布上? 分位点有表可查，见附表5。 F 分布上? 分位点示意图 ★ 一个需要注意的问题: 这个关系式的证明如下： 证明：若 X ~ Fm,n，则 Y = X -1 ~ Fn,m。 依分位点定义， 上式等价于 再根据 Y (~ Fn,m ) 的上? 分位点定义，有 这就证明了(1)式。 在通常 F 分布表中，只对? 比较小的值,如? = 0.01, 0.05, 0.025及0.1等列出了分位点。但有时我们也需要知道? 比较大的分位点， 它们在 F 分布表中查不到。这时我们就可利用分位点的关系式(1)把它们计算出来。 例如：对m=12, n=9, α=0.95, 我们在 F 分布表中查不到 F12,9(0.95)，但由(1)式，知 可从F 分布 表中查到 ★ 还有一个重要结果: 若X ~ tn , 则X2 ~ F1,n。 请同学们自己证明。 定理 1： 6.4.4 正态总体样本均值与样本方差的分布 定理的证明超出了教学范围，我们把它放在了教材§6.4 末尾的附录 ( p143—145)中。 定理的内容在后面几章的讨论中将多次用到，希望大家牢记。 例1：设某物体的实际重量为?(未知),现在用一台天平称量它,共称 n 次,得到X1,X2,…,Xn。 假设每次称量过程彼此独立,且无系统误差, 则可认为这些测量值独立同分布, 均服从正态分布N(?,?2),方差?2反映了天平及测量过程的总精度。我们通常用样本均值 根据定理1(基本定理),有 再根据正态分布的性质(见p110,例4.2.6),知 例如：当 ? = 0.1 时， 也就是说：我们的估计值 与真值 的偏差不超过 的概率约为 99.74%, 并且随称量次数 n 的增加，偏差界限 将越来越小。 若取 n=10，则 若取 n