概率论与数理统计PPT教学课件-第18讲.ppt

7.4.2 正态总体参数的区间估计 根据基本定理 (见定理6.4.1) ，知 也可简记为 于是，μ 的置信区间为 例1: 某厂生产的零件长度 X 服从 N(? , 0.04),现从该厂生产的零件中随机抽取6个，长度 测量值如下(单位:毫米): 14.6, 15.l, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1. 求:μ 的置信系数为0.95的区间估计。 解：n = 6，? = 0.05，z?/2 = z0.025 = 1.96，?2=0.22 . 所求置信区间为 当方差未知时，取 ● μ 的区间估计 于是，μ 的置信系数为1-α 的区间估计为 也可简记为 ● σ2 的区间估计 例2：为估计一物体的重量μ，将其称量10次,得到重量的测量值 (单位: 千克) 如下: 10.l, 10.0, 9.8, 10.5, 9.7, l0.l, 9.9, 10.2, 10.3, 9.9. 设它们服从正态分布 N(? , ?2)。求? 的置信系数为0.95的置信区间。 解: n=10, ? =0.05, t9 (0.025)=2.2622, 例3(续例2): 求?2的置信系数为0.95的置信区间。 解：n=10, ? = 0.05, S2=0.0583, 查附表得， 于是， 小结 本讲首先介绍了估计量的评优准则，包括：无偏性和均方误差准则；然后介绍了区间估计的基本概念，详细讨论了正态总体均值和方差的区间估计。 概率论与数理统计 第十八讲 北京工业大学应用数理学院 从前面两节的讨论中可以看到: ● 同一参数可以有几种不同的估计，这时就需 要判断采用哪一种估计为好的问题。 ● 另一方面，对于同一个参数，用矩法和极大 似然法即使得到的是同一个估计, 也存在衡 量这个估计优劣的问题。 估计量的优良性准则就是：评价一个估计量“好”与“坏”的标准。 §7.3 估计量的优良性准则 设总体的分布参数为?， 对一切可能的? 成立,则称 为? 的无偏估计。 7.3.1 无偏性 对于样本 X1,X2,?,Xn的不同取值， 取不同的值 )。 如果 的均值等于?，即 简记为 是? 的一个估计(注意! 它是一个统计量，是随机变量。 参数?，有时可能估计偏高，有时可能偏低，但是平均来说它等于?。 “一切可能的? ”是指：在参数估计问题中，参数 ? 一切可能的取值。 我们之所以要求对一切可能的 ? 都成立， 是因为在参数估计问题中, 我们并不知道参数? 的真实取值。自然要求它在参数? 的一切可能取值的范围内都成立 说明：无偏性的意义是：用估计量 估计 例1：设 X1, X2, …, Xn 为抽自均值为? 的总体X的随机样本，考虑 ? 的如下几个估计量： 例如：若? 指的是正态总体N(? , ?2)的均值?,则其一切可能取值范围是(-∞,∞)。若? 指的是方差?2，则其一切可能取值范围是(0,∞)。 定理1：设总体 X 的均值为?,方差为?2, X1,X2,…,Xn 为来自总体 X 的随机样本，记 与 分别为样本均值与样本方差，即 即样本均值和样本方差分别是 总体均值 和总体方差 的无偏估计。 证明：因为 X1, X2, …, Xn 独立同分布，且 E(Xi )=μ , 所以 另一方面，因 于是，有 注意到 前面两节中，我们曾用矩法和极大似然法分别求得了正态总体 N(μ , σ2) 中参数 σ2 的估计,均为 很显然，它不是 σ2 的无偏估计。这正是我们为什么要将其分母修正为 n-1，获得样本方差 S2来估计 σ2 的理由。 例2：求证：样本标准差 S 不是总体标准差? 的无偏估计。 证明：因 E(S2)=? 2， 所以，Var(S)+[E(S)]2 =? 2， 由 Var(S)＞0，知 [E(S)]2 = ? 2 - Var(S)＜ ? 2. 所以，E(S)＜ ?. 故，S 不是 ? 的无偏估计。 用估计量 估计?，估计误差 II. 均方误差准则 是随机变量，通常用其均值衡量估计误差的大小。 要注意: 为了防止求均值时正、负误差相互抵消，我们先将其平方后再求均值，并称其为均方误差，记成 ，即 哪个估