概率论与数理统计PPT教学课件-第5讲.ppt

概率论与数理统计 第五讲 主讲教师：李学京 北京工业大学应用数理学院 设X是一个离散型随机变量，其可能取值为 x1, x2 , … 。 为描述随机变量 X ，我们不仅要知道其所有可能的取值，还应知道取各值的概率。 §2.2 离散型随机变量 这样，我们就掌握了X 这个取值的概率分布。 例1：从盒中任取3 球， 记 X 为取到白球数。则 X 是一随机变量。 X 可能取的值为: 0, 1, 2。 取各值的概率为 且 用这两条性质判断 一个数列是否是概 率分布。 2.2.1 离散型随机变量概率分布的定义 定义1 ：设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 且有 则称p1 , p2, …为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律，也称概率函数。其中 p1 , p2, …满足 概率分布也可用下面表格的形式给出： 解：依据概率分布的性质 欲使上述数列为概率分布，应有 例2：设随机变量 X 的概率分布为 确定常数 a 。 从中解得 这里用到了幂级数展开式 例3：某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求其两次独立投篮后，投中次数 X 的概率分布。 解：X 可取的值为 ：0, 1, 2，且 P(X=0) = (0.1)(0.1) = 0.01， P(X=1) = 2(0.9)(0.1) = 0.18 , P(X=2) = (0.9)(0.9) = 0.81 . 易见： P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1 . 例 4： 如上图所示,电子线路中装有两个并联继电器。设这两个继电器是否接通具有随机性，且彼此独立。已知各电器接通的概率为0.8，记X为线路中接通的继电器的个数。 求 (1). X 的概率分布；(2). 线路接通的概率。 解：(1). 记 Ai={第 i 个继电器接通}, i =1, 2. 因两个继电器是否接通是相互独立的, 所以A1和A2相互独立，且 P(A1)=P(A2)= 0.8 . 下面求 X 的概率分布: 首先，X 可能取的值为: 0, 1, 2 . P{X=0} = P{表示两个继电器都没接通} P{X=1} = P{恰有一个继电器接通} P{X=2} = P{两个继电器都接通} 所以，X的分布律为 (2). 因线路是并联电路，所以 P(线路接通) = P(只要一个继电器接通) = P{X≥1} = P{X=1}+P{X=2} = 0.32+0.64 = 0.96. 2.2.2 常见离散型随机变量的概率分布 1. 两点分布 设 E 是一个只有两种可能结果的随机试验, 用Ω= {?1, ?2} 表示其样本空间。 P({?1}) = p , P({?2}) = 1-p . 则称X服从参数p的两点分布, 记成 X～B(1, p)。 例 5：200 件产品中，有196件正品，4件次品，今从中随机地抽取一件，若规定 则 P{X=1} = 196/200 = 0.98, P{X=0} = 4/200 = 0.02 . 故 X 服从参数为0.98的两点分布， 即 X～B(1, 0.98)。 例6：某射手每次射击时命中10环的概率为 p, 现进行 4 次独立射击，求 {恰有 k 次命中10环}的概率。 2. 贝努里概型与二项分布 解：用X 表示 4 次射击后, 命中10环的次数, 则 其中“×”表示未中，“○”表示命中。 易见：X 的概率分布为 例7：将一枚匀称的骰子掷 3 次，令X 表示 3 次中出现“4”点的次数。 不难求得，X 的概率分布是为 掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点” 射击：“中10环”， “未中10环” 抽验产品：“抽到正品”,“抽到次品” 设重复地进行 n 次独立试验，每次试验“成功”的概率都是 p, “失败”的概率是 q=1-p 。 一般地，设在一次试验中只有两个互逆的结果： , 形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”。如： 这样的 n 次独立重复试验称作 n 重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型。 用X 表示 n 重贝努里试验中事件A发生的次数，则 称随机变量 X 服从参数为 (n, p) 的二项分布, 记成 X ~ B(n, p)。 贝努里概型对试验结果有下述要求： (1). 每次试验条件相同； 二项分布描述的是：n 重贝