概率论与数理统计PPT教学课件-第8讲.ppt

一般地, 将随机试验涉及到的 n 个随机量 X1, X2 , …, Xn 放在一起，记成 (X1, X2 , …, Xn )，称 n 维随机向量 (或变量)。 正态分布(X,Y)的概率密度函数 f(x,y)满足: (1). (2). 小结 本讲介绍了二维随机向量的基本概念，包 括联合分布函数及其性质，二维离散型随机向 量的联合概率分布及其性质，二维连续型随机 向量的概率密度及其性质；此外，还介绍二维 均匀分布和二维正态分布等。 概率论与数理统计 第八讲 北京工业大学应用数理学院 第三章 随机向量 有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来同时描述。 3. 导弹在空中位置——坐标 (X, Y, Z)。 1. 某人体检数据——血压X和心律Y； 例如： 2. 钢的基本指标——含碳量 X，含硫量 Y和 硬度 Z ； 由于从二维随机向量推广到多维随机向量并无实质性困难，所以，我们着重讨论二维随机向量。 §3.1 二维随机向量及其分布函数 设试验E的样本空间为Ω，X=X(?)与Y= Y(?)是定义在Ω上的两个随机变量, 由它们构成的向量 (X, Y) 称为二维随机向量。 二维随机向量(X, Y)的性质不仅与X 和Y 的性质有关，而且还依赖于X和Y之间的相互关系。因此，必须把(X, Y)作为一个整体来看待，加以研究。 为此，首先引入二维随机向量(X, Y)的分布函数的概念。 定义二维随机向量(X, Y) 的联合分布函数为 取定x0,y0?R =(-∞,∞), F(x0,y0)就是点(X,Y)落在平面上，以(x0,y0)为顶点，且位于该点左下方无限矩形区域上的概率。 如果将 (X, Y) 看成平面上随机点的坐标。 由上面的几何解释， 易见: 随机点(X, Y)落在矩形区域: x1x≤x2, y1y≤y2 内的概率为 P{x1X≤x2 , y1Y≤y2} =F(x2, y2)-F(x2, y1)- F(x1, y2)+F(x1, y1). 说明 二维分布函数 F(x, y)的三条基本性质 (1).F(x, y)是变量 x,y 的非减函数； 即 ? y?R 给定，当 x1 x2 时， F(x1, y)≤F(x2, y). 同样, ?x?R 给定，当y1≤y2时, F(x, y1)≤F(x, y2). (2).?x, y?R, 有 0≤F(x, y)≤1； (3). ? y?R, F(-∞, y)=0， ? x?R, F(x, -∞)=0， F(-∞, -∞)=0，F(∞, ∞)=1. 其中 §3.2 二维离散型随机向量 如果随机向量 (X, Y) 的每个分量都是离散型随机变量，则称 (X, Y) 是二维离散型随机向量。 二维离散型随机向量 (X, Y) 所有可能取的值也是有限个，或可列无穷个。 离散型随机变量 X 的概率分布: 离散型随机向量 (X, Y) 的联合概 率分布: 联合概率分布也可以用表格表示。 表3.2.1 二维离散型随机向量的联合概率分布与联合分布函数 设二维离散型随机向量 (X, Y) 的联合概率分布为 pij， i=1, 2, ?, j=1, 2, ? . 于是, (X, Y) 的联合分布函数为 例1：设有10件产品，其中7件正品，3件次品。现从中任取两次，每次取一件，取后不放回。 令: X=1：若第一次取到的产品是次品， X=0：若第一次取到的产品是正品， Y=1：若第二次取到的产品是次品， Y=0：若第二次取到的产品是正品。 求: 二维随机向量(X, Y)的概率分布。 解：(X,Y)所有可能取的值是： (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)。 P{X=0,Y=0}=P{第一次取正品,第二次取正品}, 利用古典概型，得： P{X=0,Y=0}=(7?6)/(10?9)=7/15。 同理，得 P{X=0,Y=1}=(7?3)/(10?9)=7/30, P{X=1,Y=0}=(3?7)/(10?9)=7/30, P{X=1,Y=1}=(3?2)/(10?9)=1/15。 例2：为了进行吸烟与肺癌关系的研究，随机调查了23000个40岁以上的人，其结果列在下