幂函数型水位流量关系回归方法研究.pdfVIP

第43卷 第 15期 人 民 长 江 VoI．43．No．15 2012年 8月 Yangtze River Aug．， 2012 文章编号 ：1001—4179(2012)15—0032—03 幂函数型水位流量关系回归方法研究 张 子 贤 (江苏建筑职业技术学院 市政工程学院，江苏 徐州 221l16) 摘要 ：为提高幂函数型水位流量关系的拟舍精度 ，对幂函数回归的传统方法进行 了剖析，导出了采用乘积随机 误差时，幂函数型因变量的数学期望表达式和幂函数型非线性 回归与其线性化 回归的残差平方和 的关系式 。 导 出的公式表 明，因变量的估计值并非是其数学期望的估计值 ；传 统方法所求幂函数的回归系数不满足该 因 变量 的残差平方和为最小。结合幂函数型水位流量关系回归计算的实例 ，选用 5种计算方法进行分析 比较 。 结果表 明，高斯 一牛顿法、化非线性为线性的加权 回归法均显著优于传统方法 ；高斯 一牛顿法优于 自适应加速 遗传算法 ，与拉格 朗日乘子法相 同。 关 键 词 ：幂 函数 ；水位流量关 系；非线性回归模型线性化 ；残差平方和 ；拟合精度 ；回归方法 中图法分类号 ：P337．3 文献标志码 ：A 1 传统幂函数水位流量关系 2 对传统方法的剖析 水位流量关系是水文资料整编的重要 内容之一， 2．1 幂函数 回归模型随机误差项的表示形式 是水利水 电工程规划设计 、水文预报和水库调度 的重 要分析幂函数线性化 回归 的统计特征 ，必须 引入 要依据之一。该关系常选配成幂函数型…： 随机误差项 s。式 (1)相应的数学模型为 q =卢。(z—z。) ：卢。 (1) Y= 0 + (2) 若采用加性 随机误差 ，式 (2)是无法线性化 的。 式 中，Q为流量 ，m ／s；Z为水位 ，m；Z。为断流水位，即 传统方法实际上仅是进行曲线拟合处理。 q =0时的水位 ，m；Z 为有效水位，m；JB。，为待估参 若采用乘积随机误差 数 。 Y=卢0 e (3) 目前常用的方法是首先通过变量代换将式 (1)化 进行 自然对数变换后 ，得线性模型 为线性模型，即对式 (1)两边取 自然对数，并令 = =Ol0+JBM+s (4) lnq，／,／=lnZ，Oto=1 0，则将式 (1)转化为 ：=Ot0+ 式中， =lny，M=lnx，o=1n卢0。 8|u，其估值五=b。+bu；其次利用线性 回归方法推求线 传统的做法是假设 s～N(0， )，利用线性最小 性 回归系数 b。、b，然后再 由线性 回归系数反求非线性 二乘法求解式(4)的线性 回归系数 ，进而得式 (3)的 回归系数 ：。=e ， =b。这是数理统计教科书以及生 非线性回归系数，则将多= 。 作为Y的估计值。然而， 产实际中使用的经典方法，本文称其为传统方法 。上述 多=3／o 并非Y的数学期望的估计值，证明如下。 方法看起来合理 ，其实不然。本文将对此进行分析，并 由式 (3)可得 ： 结合实例 ，对各种不 同回归方法进行比较 ，进一步说 明 E(Y)=E(卢0 e)=|80 E(e) 传统方法的局限性。 若记 8的密度 函数为 (