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三维矢量的复指数形式坐标变换及其应用 王智圣（济南市新技术研究所） 摘要：本文提出三维矢量可以表示为如下形式：r=r[（cosθ/cosψ）eiφ +jψ]，探讨了应用该法表示矢量时的坐标变换方式和求导运算方法。该方法已应用于空间机构实例的运动分析。关键词：复数 三维矢量 坐标变换 空间机构 0? 前言 ??? 对于空间机构的运动分析，目前常用的方法是矩阵法。在应用这一方法时，为了进行坐标变换、必须做冗长的矩阵运算，这使得整个分析运算过程变得十分繁琐。??? 二维矢量可以表示为如下形式： r = reiθ ??? 若坐标系绕原点旋转了α角并沿某定矢量α做了平移，则变换后的矢量可简洁地表示为： r1 = rei(θ+α)-α ??? 若设法将三维矢量也表示为复指数形式，那么可以设想，这种表示法也应能够简化坐标变换的运算。本文试图导出这种表达形式，探讨其运算规律并应用于空间机构的运动分析。 1? 基本关系式 ??? (1)基本规定??? 规定i2=j2=-1；ij=ji=0。并规定乘积iij和jij无意义。??? (2)根据复数的基本原理[1]，若以实数1对应于X轴的单位矢量，以虚单位i记Y轴的单位矢量，则任何一个二维矢量对应一个确定的复数x＋yi。在以上原理的基础上，增添虚单位j记Z轴的单位矢量，构造复数Z＝x＋yi＋zj，并规定：两个复数Z1与Z2仅当x1＝x2、y1＝y2、z1＝z2时相等；两个复数的和规定为Z1＋Z2＝(x1＋x2)＋(y1＋y2)i＋(z1＋z2)j。那么任何一个三维矢量r对应于一个确定的复数x＋yi＋zj。??? (3)如图1，以rxy和rzx分别表示r在xy平面及ZX平面的投影。φ角是rxy所在直线与x轴之夹角，θ角是rxy所在直线与r间之夹角。对φ和θ之正方向作如下规定。??? (4)规定1??? φ角始边是正向x轴，当对着z轴看时，以逆时针旋向为φ角正向。θ角始边是φ角的终边，当由θ角始边旋转至r时，以旋转中靠近或先经过正向Z轴的旋向为θ角正向。??? (5)在坐标系O－xyz中，r可表示为： r=x+yi+zj =rxy(cosφ+isinφ)+zj 利用基本规定中ij=0可将上式表示为：?? ?? r=rxy(cosφ+isinφ)+zj +(zsinφ/cosφ)ij?????? =[rxy +(z/cosφ)j ](cosφ +isimφ)?????? =[rxy+j(z/cos φ)]eiφ?? ???? ??? ? =[(1/cosφ)eiφ ](rxycosφ+zj )?????? =[(1/cosφ) eiφ](x+zj )?????? =rzx(cosΨ +j sinΨ )[(1/cosφ)eiφ ]?????? =rzx(1/cosφ)eiΨ eiφ?????? ???? ? =rzx[(1/cosφ)]eiφ+jΨ 式中?? Ψ──rzx与正向x轴间的夹角??? 由图1可知： rzx=r(cosθcosφ/cosΨ) ??? 将此式代入前式得： r =r[(cosθ/cosψ)eiφ+jψ ]? (1) ??? 该式即以复指数形式表示三维矢量的基本式子。??? (6)将式(1)右边展开，并注意据基本规定ij=0： r[cosθ/cosψ）eiφ+jψ]=r(cosθ/cosψ)eiφejψ=r(cosθ/cosψ)(cosφ+isinφ)(cosψ+jsinψ)=r(cosθcosφ+icosθsinφ+jcosθcosφ tanψ) 又据图1可推得： tanψ=tanθ/cosφ ? (2) 将式(2)代入前式得： r =r[(cosθ/cosψ)eiφ+jψ ]=r[cosθcosφ +icosθsinφ+jsinθ] (3) ??? 由式(3)可知，确定r的三个独立变量是r、θ、和φ，而ψ是非独立变量。 2? 坐标变换 ??? (1)规定2??? 当坐标系O—XYZ绕on轴（on在XY平面内且过原点）旋转时，若使矢量r之θ角增大，则称坐标系O—XYZ关于r绕on轴作了正向旋转。当坐标系O—XYZ绕OZ轴旋转时，若使矢量r之φ角增大，则称坐标系O—XYZ关于r绕OZ轴作了正向旋转。??? (2)本文将“坐标系O—XYZ绕某轴OS正向旋转了α角成为坐标系O—X1Y1Z1”记为：O—XYZ(OS↑)α→O—X1Y1Z1；若是反向旋转，则记为：O—XYZ（OS↓）α→O—X1Y1Z1。将“坐标系O—XYZ沿矢量OO1平移后成为坐标系O1—X1Y1Z1”记为：O—XYZ→O—X1Y1Z1。??? (3)如图1，ON轴在XY平面内过原点且垂直于r。在关于r，O—XYZ(ON↑)θ△→O—X1Y1Z1时，角φ不变，将ψ变换后的值记