高三数学专题（三）集合与函数.docVIP

3edu教育网，教学资源集散地，完全免费！ 3eud教育网，可能是最大的免费教育网！ 第一讲 集合与函数 陕西特级教师????????安振平 高考风向标 本讲的主要内容是：集合的有关概念和运算，含有绝对值的不等式及一元二次不等式的解法，逻辑关联词，四种命题，充要条件．映射的概念，函数的概念，函数的单调性，反函数的概念，分数指数幂的概念和性质，指数函数的图象和性质，对数的定义和运算性质，对数函数的图象与性质，函数的一些应用． 典型题选讲 例１　在中，“”是“”的什么条件？ 讲解 在中，角A、B的对边分别是是的外接圆的半径． 一方面，因为 AB，所以ab , 即 ，亦即 ，从而中 AB。 另一方面，因为， 所以 ，即 ，得AB， 从而中，AB。 故中，“”是“” 的充要条件． 点评　试问：在中，“”是“”的什么条件？ 例２　试构造一个函数，使得对一切有恒成立，但是既不是奇函数又不是偶函数，则可以是 . 讲解　的图像部分关于原点对称，部分关于轴对称，如 ． 点评　本题是一道开放题，你能给出其它的答案吗？请不妨一试． 例３　某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去． （１） 用列表表示，1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数； （２）用图像表示1个细胞分裂的次数n(n?N＋)与得到的细胞个数y之间的关系； （３）写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式，试用计算器算算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数． 讲解　（１） 利用正整指数幂的运算法则，可以算出1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数，列表如下 分裂次数 1 2 3 4 5 6 7 8 细胞个数 2 4 8 16 32 64 128 256 （２）细胞个数y与分裂次数n之间的关系式是 y＝2n，n?N＋． 利用计算器可以算得 215＝32768，220＝1048576． 故细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别是32768个和1048576个． 点评　细胞分裂是一种很有趣的数学问题，我们也可以思考下面的类似的问题： 一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存KB，然后每分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的倍，那么开机后经过 ______ 分钟，该病毒占据MB内存（MB=KB）. 例４　已知函数的反函数， （１）若，求的取值范围； （２）设函数，当时，求的值域． 讲解　　∵　， ∴　． （１）∵ 即． ∴， ∴ 解之得　　　， ∴． （２）　　∵ 　 　 　． 令 ，显然在[0，1]递增， 则有　　　　　　． ∴，即的值域为． 例５　某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率与日产量（件）之间大体满足关系： （其中c为小于96的正常数） 注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品． 已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量． （1）试将生产这种仪器每天的盈利额（元）表示为日产量（件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 讲解　（1）当时，，所以，每天的盈利额; 当时，，所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件．故，每天的盈利额 . 综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为： （2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0． 当时，． 令，则．故 ．当且仅当，即时，等号成立． 所以（i）当时，（等号当且仅当时成立）． （ii） 当时，由得， 易证函数在上单调递增（证明过程略）． 所以，．所以， ， 即．（等号当且仅当时取得） 综上，若，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若，则当日产量为时，可获得最大利润．　　　　　点评　分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复课时认真对待． 例６　设二次函数，已知不论α，β为何实数，恒有 （1）求证： （2）求证： （3）若函数的最大值为8，求b，c的值． 讲解 （1）由产生b+c，只要消除差异，这可令 从而知　 （2）由 又因为 （3） 当 由 解得 点评　注意：且, 这是用不等式证明等式的有效方法，很是值得重视. 例７　设f(x)=lg,aR, nN且n2.若f(x)当x(-,1)有意义，求a的取值范围． 讲解　f(x)当x(-,1)有意义，当且仅当