专题复习函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）.docVIP

专题复习：函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性） “定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。 1. 奇偶性 奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇； ③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称 （2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：在上不是奇函数 常用性质： 1．是既奇又偶函数； 2．奇函数若在处有定义，则必有； 3．偶函数满足； 4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称； 5．除外的所有函数的奇偶性满足： （1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 www.k@s@5@ （2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和。 2. 单调性[来源:Zxxk.Com] 定义：函数定义域为A，区间，若对任意且 ① 总有则称在区间M上单调递增 ② 总有则称在区间M上单调递减 应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性 一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二） 求函数的单调区间 定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论 奇函数在对称区间上的单调性相同 偶函数在对称区间上的单调性相反 复合函数单调性-------同增异减 www.k@s@5@ ? 3. 周期性 （1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数，T叫做周期，kT（T的整数倍）也是它的周期 （2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。 注：常用结论 （1）若，则是周期函数，是它的一个周期（自己证明） （2）若定义在R上的函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。（自己证明） （推论）若定义在R上的偶函数的图象关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期? （3）若；；；则是周期函数，2是它的一个周期 4．对称性 一、函数自身的对称性 定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点， ∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上， ∴ 2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b 故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b ∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上， 而点P与点P关于点A (a ,b)对称，充分性得证。 推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者） 推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 或 f (x) = f (2a－x)? 定理4.若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 www.k@s@5@ 二．不同函数对称性 定理5. 函数y = f (a+x)与y = f (b－x)的图像关于直线x = (b-a)/2成轴对称 定理6. 互为