09-10实变函数试卷A.doc

(实变函数)课程考试试卷（A）卷 填空题(32分)。 1.设=(0,)，=(0,),=1,2 则， 。 2.点集E为闭集的充要条件是__________。(写出一个即可) 3.设E为可数点集，则mE=__________。 4.(Carathéodory条件)设E,我们称E是L可测的，是指如果对任一点集T 都有_____________________________。 5.(可测函数与简单函数的关系)设f(x)在E上可测，则f(x)总可以表示成 _________________________________________。 6.若f(x)在E上可测，则|f(x)|在E上可测，但反之未必成立，试举例说明 ______________________。 7.(L积分的绝对连续性)设f(x)在E上可积分，则对任何可测集AE，有 _______________________。 8.(Jordan分解)在[a,b]上的任一有界变差函数f(x)都可表示为__________ ___________________________。 叙述题(8分) 。 9.请叙述Lebesgue控制收敛定理，并给出它的一个推论。 证明题（60分） 10.设A是一个无穷集合，则必有，使，而可数。 11.设E,若对任意的0,存在闭集FE，使得m（E-F）。 证明E是可测集。 12．设函数列f(x)(n=1,2)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x), 证明{ f}a.e.收敛于f。 13.设{ f}为E上非负函数列，若=0，则。 14.设f(x)是[a,b]上的有限函数，若存在0,使对任何，都有 则f(x)是[a,b]上的有界变差函数。 15.设为E上可测函数，令,则 当+a.e.于E时，有 =. 安徽工程大学2008 —— 2009学年第一学期 ( 实变函数 )课程考试试卷（A）卷答案及评分标准 填空题(48=32分)。 1.（0，）， 2. 3.0 4. 5.一列简单函数{}的极限函数，而且还可办到 。 6. ，其中E是[0，1]中的不可测集。 7. 8.两个增函数之差 叙述题(8分) 9.设 (1){}是可测集E上的可测函数列； (2)于E，=1,2,,且在E上可积分； (3), 则在E上可积分且 。 (6分) 推论 将条件(3)改为于E，定理结论仍成立。(8分) 证明题(610=60分)。 10.证明 由于A是一个无穷集合，所以含有一个无穷子集B。设 B={}。令 则且均为可数集。(4分) 令 则是可数集。(8分)又因也是可数集， 所以。由所以 证毕。(10分) 11.证明 由条件对任何正整数，存在闭集，使。(2分) 令，则是可测集且。由于对一切正整数，有 。 故，所以是可测集。(8分)因此 是可测集。证毕。 (10分) 12.证明 因为在E上“基本上”一致收敛于，所以对任意0,存在可测集，使而在上一致收敛于(4分)设是中 不收敛点的全体，则对任意，(因为上收敛)，所以 ，令得，所以在E上a.e. 收敛于 (不必有有界条件)。证毕。(10分)。 13.证明 对任意，由非负可知 。(4分) 因此 ， (8分) 即。证毕。 (10分) 14.证明 对任意，因 ， 所以，(2分)对于[a,b]的任何分划， 则对应于分划的变差 = (8分) 因此 即是[a,b]上的有界变差函数，证毕。 (10分) 15.证明 令，所以 又在上，所以 故 (4分) 在上，且 ， 由Levi定理有 (6分) 所以 = 即 =。证毕。 （10分） 安徽工程大学2008 —— 2009学年第一学期 (实变函数)课程考试试卷（B）卷 考试时间 120分钟，满分100分 要求：闭卷[√]，开卷[ ]；答题纸上答题[√ ]，卷面上答题[ ] (填入√) 填空题(32分)。 1.设=[0,1+], =1,2 ,。 2.点集E为开集的充要条件是__________。(写出一个即可) 3.