唯一分解整环R上不可约多项式的一个判别准则Ξ.PDFVIP

第 20 卷第 4 期 数 学 理 论 与 应 用 Vol. 20 No. 4 　 2000 年 10 月 MA THEMA TICAL THEOR Y AND APPL ICA TIONS 　 　 Oct . 2000 唯一分解整环 R 上不可约多项式的一个判别准则 向红军　王金华 (郴州师专数学系 郴州 423000) ( ) 摘 　要 　本文获得了一个判别唯一分解整环 R 及其商域 Q 上的 n 次 n 2 多项式不可约的充分条件. 关键词 　唯一分解整环 , 商域, 不可约多项式. 一、引言及引理 早在十九世纪中期, 德国数学家 F. G. M. Eisensten 给出了判别一个整系数多项式不可约 的方法: 定理 1[ 1] :设 f ( x) = a X n + …+ a X + a 是一个整系数多项式, 若是能够找到一个素数 n 1 O ) ) ) 2 ( ) P , 使 　1 P an ; 　2 P 能整除其余各项的系数; 　3 P aO , 那么 f x 在有理数域上是不可 约的. 最近, 不少学者研究多项式的可约性问题又获得许多判别一个多项式不可约的准则, 详见 文献[ 2 , 3 , 4 , 5] , 这些准则都不同程度对对著名的 Eisenstein 判别法作了推广, 都不失为行之 有效的好方法. 在文[ 5] 中, 作者给出了一个判断奇数次多项式 f ( x) 不可约的充分条件 : 定理 2 　设 f ( x) = a2 n + 1 　X 2 n + 1 + …+ ao ∈R [ x ] , 如果有一个素元 P , 使得 : ) 1 P | ak 　k = 2 n , 2 n - 1 , …, n + 1 ; 2) P2 | ak 　k = n , n - 1 , …, 1 , 0 ; 3) P3 ao , 　P a2 n + 1 ; 那么 f ( x) 在 Q [ x ] 里不可约. ( ) 本文在此基础上, 把结果推广到任 n 次 n 2 多项式上去. 补充说明, 我们用 R 表示唯 一分解整环, Q 表示 R 的商域, R [ x ] 与 Q [ x ] 分别表示 R 与 Q 上的一元多项式环. 定理 3[ 6] : R [ x ] 的一个本原多项式 f ( x) 在 R [ x ] 里可约的充分必要条件是 f ( x) 在 Q [ x ] 里可约. 二、主要结果 ( ) n n - 1 ( ) 定理 4 　设 f x = a X + a X + …+ a