场论恒等式.PDF

场论恒等式 谢锡麟 复旦大学力学与工程科学系 2015 年4 月2 日 麟 1 知识要素 推导体积上张量场场论恒等式, 主要基于以下结论 锡 1. Ricci 定理, 亦即任意度量张量及Eddington 张量的分量的协变导数都为零. 2. Eddington 张量与度量张量之间的关系, 主要形式为 谢 ε ε = δ δ g g . 3. 张量分量协变导数的作用次序可以交换顺序, 如 稿 Φ = Φ . 需指出, 上述第一、二条结论对一般 Riemann 流形都成立, 而第三条结论仅对 Euclid 流形 成立. 讲 以下, 证明第三条结论 定理 1.1 (体积上协变导数作用可以交换次序). 以三阶张量分量为例, 有 析 Φ = Φ . 证明 以三阶张量 = Φ 为例, 计算 分 ∂ (∂ ) ∂ ( ) ∂ () () = Φ () ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x = [ ( Φ ) + Γ Φ )] . 量 同理, 有 ( ) ∂ ∂ ∂ () () = [ ( Φ ) + Γ Φ )] . ∂x ∂x ∂x ∂x 张 按一般赋范线性空间上微分学, 当张量场具有足够正则性/光滑性, 成立 ∂ ∂ () = (), ∂x ∂x ∂x ∂x 故有