基本数列是等差数列和等比数列一.PDFVIP

详细研读本篇数列解法和例题，可快速解决任何数列问题。 基本数列是等差数列和等比数列 一、等差数列 一个等差数列由两个因素确定：首项a1 和公差d. 得知以下任何一项，就可以确定一个等差数列（即求出数列的通项公式）： 1、首项a1 和公差d 2、数列前n 项和s(n), 因为s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n) 3、任意两项a(n)和a(m)，n,m 为已知数 等差数列的性质： 1、前N 项和为N 的二次函数（d 不为0 时） 2、a(m)-a(n)=(m-n)*d 3、正整数m、n、p 为等差数列时，a(m)、a(n)、a(p)也是等差数列 例题1：已知a(5)=8,a(9)=16,求a(25) 解：a(9)-a(5)=4*d=16-8=8 a(25)-a(5)=20*d=5*4*d=40 a(25)=48 例题2：已知a(6)=13,a(9)=19,求a(12) 解：a(6)、a(9)、a(12)成等差数列 a(12)-a(9)=a(9)-a(6) a(12)=2*a(9)-a(6)=25 二、等比数列 一个等比数列由两个因素确定：首项a1 和公差d. 得知以下任何一项，就可以确定一个等比数列（即求出数列的通项公式）： 1、首项a1 和公比r 2、数列前n 项和s(n), 因为s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n) 3、任意两项a(n)和a(m)，n,m 为已知数 等比数列的性质： 1、a(m)/a(n)=r^(m-n) 2、正整数m、n、p 为等差数列时，a(m)、a(n)、a(p)是等比数列 3、等比数列的连续m 项和也是等比数列 即b(n)=a(n)+a(n+1)+...+a(n+m-1)构成的数列是等比数列。 三、数列的前N 项和与逐项差 1、如果数列的通项公式是关于N 的多项式，最高次数为P，则数列的前N 项和是关于N 的 多项式，最高次数为P+1。 （这与积分很相似） 2、逐项差就是数列相邻两项的差组成的数列。 如果数列的通项公式是关于N 的多项式，最高次数为P，则数列的逐项差的通项公式是关于 N 的多项式，最高次数为P-1。 （这与微分很相似） 例子： 1，16，81，256，625，1296 （a(n)=n^4) 15,65,175,369,671 50,110,194,302 60,84,108 24,24 从上例看出，四次数列经过四次逐项差后变成常数数列。 等比数列的逐项差还是等比数列 四、已知数列通项公式A （N），求数列的前N 项和S （N）。 这个问题等价于求S （N）的通项公式，而S （N）=S （N-1）+A （N），这就成为递推数列的 问题。 解法是寻找一个数列B （N）， 使S （N）+B （N）=S （N-1）+B （N-1） 从而S （N）=A （1）+B （1）-B （N） 猜想 B （N）的方法：把A （N）当作函数求积分，对得出的函数形式设待定系数，利用B （N） -B （N-1）=-A （N）求出待定系数。 例题1：求S （N）=2+2*2^2+3*2^3+...+N*2^N 解：S （N）=S （N-1）+N*2^N N*2^N 积分得（N*LN2-1）*2^N/(LN2)^2 因此设B （N）= （PN+Q)*2^N 则 （PN+Q)*2^N-[P （N-1）+Q)*2^ （N-1）=-N*2^N （P*N+P+Q）/2*2^N=-N*2^N 因为上式是恒等式，所以P=-2，Q=2 B （N）= （-2N+2)*2^N A （1）=2，B （1）=0 因此：S （N）=A （1）+B （1）-B （N） = （2N-2 ）*2^N+2 例题2：A （N）=N* （N+1）* （N+2），求S