“洛必达法则”巧解高考恒成立问题.doc

“洛必达法则”巧解高考恒成立问题 程汉波 杨春波 （华中师范大学 数学与统计学学院，湖北 武汉 430079） 含参数的不等式恒成立问题是高考的一个难点与热点，历年高考中该问题层出不穷、精彩纷呈．参数分离——讨论最值（数形结合）是该类问题的惯用方法，然而，笔者发现一个奇特的现象是许多高考试题采用参数分离法求解入手容易，思路简单，但皆因中途函数在某区间内单调性或极值难以求出而致使解答半途而废．笔者研究后发现若借助高等数学中的洛必达法则往往能化险为夷，柳暗花明．本文结合近几年全国各地高考中的恒成立问题，谈谈“洛必达法则”在其中的美妙应用． 以下定理在《数学分析》（《高等数学》）即可查到，故将其证明略去． 定理 若函数、在定义域内可导，，满足，、存在且，则． 例1 （2012年湖南卷理22）已知函数，其中． （1）若对一切，恒成立，求实数的取值范围． 解：等价于． 当或时，不等式对一切恒成立； 当且时，不等式等价于，也即等价于：当 时，；当时，．所以 ①一方面，； ．故． ②另一方面，当时，令，则，当时，；当时，，所以，即不等式恒成立． 综上：实数的取值范围为． 例2 （2012年天津卷理20）已知函数的最小值为0，其中． （1）求的值． （2）若对任意的，有恒成立，求实数的最小值． 解：易得，过程略去；即为． 当时，即，不等式对一切恒成立；只需考略的情形，原不等式即等价于对一切恒成立．所以， ①一方面，； ②另一方面，当时，令，则 ，所以对一切成立．显然当时，不等式对一切恒成立． 综上：实数的最小值为． 例3 （2012年大纲全国卷理20）设函数． （1）讨论的单调性． （2）设，求实数的取值范围． 解：（1）略去；即为． 当时，即，不等式对一切恒成立；只需考略的情形，原不等式即等价于对一切恒成立．所以， ①一方面，； ．故． ②另一方面，当时， 当时，由上的点与原点连线斜率大小关系易得，即，所以；当时，，则 ．所以当时，有 成立．显然当时， 对于恒成立． 　　综上：实数的取值范围为． 例4 （2011年新课标全国卷理21）设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值． （2）如果当且时，有，求实数的取值范围． 解：（1）易得，过程略去；等价于． ①一方面，； ．故． ②另一方面，当时，令，考虑 ，则，所以在且上单调递增，于是，当时，，；当时，，；所以不等式对于且成立．显然，当时，不等式对于且恒成立． 综上：实数的取值范围为． 例5 （2010年新课标全国卷理21）设函数． （1）若，求的单调区间． （2）若当时，，求实数的取值范围． 解：（1）略去；即为． 当时，即，不等式对一切恒成立；只需考略的情形，原不等式即等价于对一切恒成立．所以， ①一方面，； ②另一方面，当时，令，则， ，所以对于成立．显然，当时，不等式对一切恒成立． 综上：实数的取值范围为． 例6 （2010年全国卷Ⅱ理22）设函数． （1）证明：当时，． （2）设当时，有，求的取值范围． 解：（1）略去；分析两边函数正负情况易得． 当时，即，不等式对一切恒成立；只需考略的情形，原不等式即等价于对一切恒成立．所以， ①一方面，． ②另一方面，当时，不等式整理为，由于 ，所以，对于成立．显然，当时，不等式对一切恒成立． 综上;实数的取值范围为． 注：师生均反映该压轴题的标准答案完全是云里雾里，思路不好找，并且感觉拼凑痕迹明显，属于知道答案而写的答案。所以这里用这类问题的通法简单解决． 例7（2008年全国卷Ⅱ理22）设函数． （1）求的单调区间． （2）如果对任何都有，求实数的取值范围． 解：（1）略去；不等式即为． 当时，即，不等式对一切恒成立；只需考略的情形，原不等式即等价于对一切恒成立．所以， ①一方面，； ②另一方面，当时，令，则，故在上单调递增，则，故对于成立．显然，当时，不等式对于恒成立． 综上：实数的取值范围为． 注：的端点值恰好是在处的切线斜率值． 例8 （2007年全国卷Ⅰ理20）设函数． （1）证明：的导数． （2）若对所有都有，求实数的取值范围． 解：（1）略去；不等式即为． 当时，即，不等式对一切恒成立；只需考略的情形，原不等式即等价于对一切恒成立．所以， ①一方面，． ②另一方面，当时，令，则，故在上单调递增，则，故对于成立．显然，当时，不等式对于恒成立． 综上：实数的取值范围为． 参考文献 [1]李红春．洛必达法则下三道高考压轴题的简解[J]．河北理