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人教版高中数学选修1《函数的单调性与导数》表格式教学设计
函数的单调性与导数教学内容: 人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修1-1 P 97—101
教学目标:
(1)知识目标:能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间,能由导数信息绘制函数大致图象。 (2)能力目标:培养学生的观察能力、归纳能力,增强数形结合的思维意识。 (3)情感目标:通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结,引导学生养成自主学习的学习习惯。
教学重点:探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。教学难点:利用导数信息绘制函数的大致图象。
教学方法:发现式、启发式教学手段:多媒体课件等辅助手段
教具、学具准备:CAI课件一套、学生每人一份实验表格及一支牙签
教学过程预设:教学环节 师生活动 设计意图 一、回顾与思考
提
问
1.判断函数的单调性有哪些方法?
(引导学生回答“定义法”,“图象法”。)
2.比如,要判断 y=x2 的单调性,如
何进行?(引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。)
3.还有没有其它方法?如果遇到函数:
y=x3-3x判断单调性呢?(让学生短时
间内尝试完成,结果发现:用“定义法”,
作差后判断差的符号麻烦;用“图象法”,图象很难画出来。)
4.有没有捷径?(学生疑惑,由此引出课题)这就要用到咱们今天要学的导数法。
以问题形式复习相关的旧知识,同时引出新问题:三次函数判断单调性,定义法、图象法很不方便,有没有捷径?通过创设问题情境,使学生产生强烈的问题意识,积极主动地参与到学习中来。
二、观察与表达
(探索函数的单调性和导数的关系) 问:函数的单调性和导数有何关系呢?
教师仍以y=x2为例,借助几何画板动态演示,让学生记录结果在课前发的表格第二行中:
函数及图象
单
调
性
切线
斜率
k的
正负
导数
的正
负
问:有何发现?(学生回答)
问:这个结果是否具有一般性呢?我们来考察两个一般性的例子(教师指导学生动手实验:把准备的牙签放在表中曲线y=f(x)的图象上,作为曲线的切线,移动切线并记录结果在上表第三、四行中。)
问:能否得出什么规律?
让学生归纳总结,教师简单板书:
在某个区间(a,b)内,
若f (x)0,则f(x)在(a,b)上是增函数;
若f (x)0,则在f(x)(a,b)上是减函数。
教师说明:
要正确理解“某个区间”的含义,它必需是定义域内的某个区间。 1.这一部分是后面利用导数求函数单调区间的理论依据,重要性不言而喻,而学生又只学习了导数的意义和一些基本运算,要想得到严格的证明是不现实的,因此,只要求学生能借助几何直观得出结论,这与新课标中的要求是相吻合的。
2.教师对具体例子进行动态演示,学生对一般情况进行实验验证。由观察、猜想到归纳、总结,让学生体验知识的发现、发生过程,变灌注知识为学生主动获取知识,从而使之成为课堂教学活动的主体。
3.得出结论后,教师强调正确理解“某个区间”的含义,它必需是定义域内的某个区间。这一点将在例1的变式3具体体现。
4.考虑到本节课堂容量较大,这里没有提到函数在个别点处导数为零不影响单调性的情况(如y=x3在x=0处),这一问题将在后续课程中给学生补充。
三、知
识
应
用
1.
应
用
导
数
求
函
数
的
单
调
区
间
基础训练
1.函数y=x-3在[-3,5]上为______函数(填“增”或“减”)。(学生口答)
2.函数y=x2-3x在[2,+∞)上为______函数,在(-∞,1]上为______函数,在[1,2]上为______函数(填“增”或“减”或“既不是增函数,也不是减函数”)。 为加强学生对结论的理解与记忆,设计了两个基础训练题。由于思维定势,学生可能仍用以前的方法,这里教师要引导学生用导数法求解。 理解训练
例1.求函数y=3x2-3x的单调区间。
(引导学生得出解题思路:求导 →
令f (x)0,得函数单调递增区间,令f (x)0,得函数单调递减区间 → 下结论)
变式1:求函数y=3x3-3x2的单调区间。
(竞赛活动:将全班同学分成两大组指定分别用单调性的定义,和用求导数的方法解答,每组各推荐一位同学的答案进行投影。)
求单调区间是导数的一个重要应用,也是本节重点,为此,设计了例1及三个变式:
设计例1引导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤
设计变式及竞赛活动激发学生的学习热情,让他们学会比较深刻体验导数法的优越性。
巩固提高
变式2:求函数y=3e x -3x单调区间。
(学生上黑板解答)
变式3:求函数的单调区间。 设计变式2且让学生上黑板解答规范解题格式,同时使学生了解用导数法可以求更复杂的函数的单调区间。
设计变式3是使学生体会考虑定义域的必要性
例1及三个变式,依次涉及二次,三次函数,含指数
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