抚顺四中高三数学总复习讲义：圆锥曲线.doc

8．1椭圆 考纲要求：掌握椭圆的第一、第二定义，椭圆的标准方程、参数方程，椭圆的几何性质。 考点回顾： 1、椭圆的定义： 第一定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长(定长大于两定点间的距离)的点的轨迹。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 第二定义：平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹。 注意： (1)椭圆的定义用点集语言叙述：①点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；②点集M={P| ，0＜e＜1的常数｝（a＞b＞0）； 焦点F1（－ （2）焦点在y轴上，中心在原点：（a＞b＞0）； 焦点F1（0，－ 注意： ①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A＞0，B＞0，A≠B），当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。 椭圆的参数方程： 椭圆的几何性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：（a＞b＞0）有以下性质： 范围：|x|≤a，|y|≤b； 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）； 顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）， 长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b； 离心率：e=（焦距与长轴长之比）； 准线方程：； ⑥焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0。 焦点在y轴上，中心在原点：（a＞b＞0）的性质可类似的给出（请课后完成）。 思维、规律、方法： 两种定义： 两种标准方程： 注意分类讨论： 焦半径的应用： 利用数形结合： 考点训练 考点1、椭圆的定义： EG1： 设椭圆上的点P到右准线的距离为10，那么点P到左焦点的距离等于？ 解：由椭圆的第二定义得：点P到左焦点的距离等于12。 【】上的点P到左焦点的距离等于到右焦点的距离的两倍，则P的坐标是_________。 解：设P(x,y),F1,F2分别为椭圆的左右焦点。由已知椭圆的准线方程为，故，∵|PF1|=2|PF2|， ∴，故。 【】－。∴椭圆方程为。 (2)设∠F1PF2=θ,则∠PF2 F1=600－θ,由正弦定理并结合等比定理可得到, ∴化简可得,∴, 从而可求得tan∠F1PF2=。 【】的右焦点,点Q在椭圆上移动，当取最小值时，求点Q的坐标，并求出其最小值。 解：由椭圆方程可知a=4,b=,则c=2,, 椭圆的右准线方程为x=8，过点Q作QQ’于点Q’,过点P作PP’于点P’, 则据椭圆的第二定义知, , 易知当P、Q、Q’在同一条线上时，即当Q’与P’点重合时，才能取得最小值，最小值为8-(-1)=9，此时点Q的纵坐标为-3，代入椭圆方程得。 因此,当Q点运动到(2,-3)处时, 取最小值9. B4、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，已知点P这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离是的点的坐标。 解：设所求的椭圆的直角坐标方程是 由,解得,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d 则 其中,如果, 则当y=-b时,d2取得最大值 解得b=与矛盾, 故必有 当时d2取得最大值， 解得b=1,a=2 所求椭圆方程为 由可得椭圆上到点P的距离等于的点为, 考点2、椭圆方程 EG2：已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=2/3。则椭圆方程为________________。 解：∵椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=2/3，∴点A不是长轴的端点。∴|OF|=c，|AF|=a=3，∴c=2，b2=5。∴椭圆方程是，或。 B2-1.若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原 点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程。 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(). 由消去y得 . ∴ =1－, ∴,∴由得……①; 又OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即 x1x2+(1-x1)(1-x2)=0,2x1x2-(x1+x2)+1=0,∴, ∴a+b=2……②. 联立①②得∴方程为. 【】x1x2+y1y2=0”(其中A(x1,y1),B(x2,y2))是我们经常用到的一个结论. B2-2、(04全国15．)设中心在原点的椭圆与双曲线=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 B2-3．曲线的标准方程为____________；准线方程为_______________. B2-4．若动点（）在曲线上变化，则的最大值为 A．B． C． D．2 考点3、性质 EG3、已知F1为椭圆的左