数学分析教案第十六章多元函数的极限与连续.doc

第十六章 多元函数的极限与连续 教学目的：1.明确认识多元函数与一元函数的相同和不同之处，进而掌握多元函数研究问题的手法与特点；2.明确研究多元函数的目的及多元函数的用途。 教学重点难点：本章的重点是平面点集的有关概念与二元函数的连续性；难点是二元函数极限的讨论。 教学时数：16学时 § 1 平面点集与多元函数 一.???????平面点集:平面点集的表示:满足的条件}.余集 . 1.?????? 常见平面点集: ⑴ 全平面和半平面 : , , , 等. ⑵ 矩形域: , }. ⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环.圆的个部分.极坐标表示, 特别是 和 . ⑷ 角域: . ⑸ 简单域: 型域和 型域.? 2.?????? 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.? 空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集 的区别. 二.??????????? 点集拓扑的基本概念: ? 1.?????? 内点、外点和界点：集合 的全体内点集表示为 , 边界表示为 .集合的内点 , 外点 , 界点不定 . 例1?????确定集的内点、外点集和边界 . 例2???????? 为Dirichlet函数. 确定集 的内点、外点和界点集 .? 2.?????? ( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点: 孤立点必为界点 . 例3???????? . 确定集 的聚点集 . 解 的聚点集 . 3.? ( 以包含不包含边界分为 ) 开集和闭集: ? 时称 为开集 , 的聚点集 时称 为闭集. 存在非开非闭集.和空集 为既开又闭集. 4.? ( 以连通性分为 ) 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 .? 5.? 有界集与无界集: 6.? 点集的直径 ： 两点的距离 . 7.? 三角不等式： （或 ） . 三. 点列的极限: 设 , . 定义 的定义 ( 用邻域语言 ) . 例4???????? , , . 例5???????? 设 为点集 的一个聚点 . 则存在 中的点列 , 使 . 四. 中的完备性定理: 1.? Cauchy收敛准则: 先证{ }为Cauchy列 和 均为Cauchy列. 2. 闭集套定理: P116. 3. 聚点原理: 列紧性 , Weierstrass聚点原理. 4.? 有限复盖定理: 五.??????????? 二元函数: 1.? 二元函数的定义、记法、图象： 2.? 定义域： 例6???????? 求定义域： ⅰ ; ⅱ . 3.? 二元函数求值: 例7??????? , 求 . 例8???????? , 求 . 4.??? 三种特殊函数: ⑴ 变量对称函数: ,例8中的函数变量对称. ⑵ 变量分离型函数: .例如 , 等 . 但函数 不是变量分离型函数 . ⑶ 具有奇、偶性的函数： § 2 二元函数的极限 ? 一. 全面极限与相对极限: 全面极限亦称为二重极限.? 1.? 全面极限 的定义: 亦可记为 . 由 的定义引入. 例1???????? 用“ ”定义验证极限 . P94例1. 例2???????? 用“ ”定义验证极限 . 例3???????? 证明 . ( 用极坐标变换 ) P94例2. 2.? 相对极限及方向极限: 相对极限 和方向极限 的定义. 3.? 全面极限与相对极限的关系: Th 1 ,对D的每一个子集E ,只要点 是E的聚点 , 就有 . 推论1 设 , 是 的聚点 . 若极限 不存在 , 则极限也不存在 . 推论2 设 , 是 和 的聚点. 若存在极限 ,, 但 , 则极限 不存在. 推论3 极限 存在, 对D内任一点列 , 但 ,数列 收敛 . 通常为证明极限 不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关 . 但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等 全面极限存在 ( 以下例5 ). 例4???????? 证明极限 不存在.( 考虑沿