数学建模——水塔流量问题.doc

实验十四　水塔流量问题 【实验目的】 1．了解有关数据处理的基本概念和原理。 2．初步了解处理数据插值与拟合的基本方法，如样条插值、分段插值等。 3．学习掌握用MATLAB命令处理数据插值与拟合问题。 【实验内容】 某居民区有一供居民用水的圆形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间是无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约两小时。水塔是一个高12.2米、直径17.4米的正圆柱。按照设计，水塔水位降到约8.2米时，水泵自动启动，水位升到约10.8米时水泵停止工作。 某一天的水位测量记录如表1所示，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。 表1　水位测量启示录（//表示水泵启动） 时刻（h） 水位（cm） 0 968 0.92 948 1.84 931 2.95 913 3.87 898 4.98 881 5.90 869 7.01 852 7.93 839 8.97 822 时刻（h） 水位（cm） 9.98 // 10.92 // 10.95 1082 12.03 1050 12.95 1021 13.88 994 14.98 965 15.90 941 16.83 918 17.93 892 时刻（h） 水位（cm） 19.04 866 19.96 843 20.84 822 22.01 // 22.96 // 23.88 1059 24.99 1035 25.91 1018 【实验准备】 　　在生产实践和科学研究中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到的一批离散样点，需要确定满足特定要求的曲线或曲面（即变量之间的函数关系或预测样点之外的数据）。如果要求曲线（面）通过所给的所有数据点（即确定一个初等函数通过已知各数据，一般用多项式或分段多项式），这就是数据插值。在数据较少的情况下，这样做能够取得好的效果。但是，如果数据较多，那么插值函数是一个次数很高的函数，比较复杂。如果不要求曲线（面）通过所有的数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，可得到更简单实用的近似函数，这就是数据拟合。函数插值和曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者在数学方法上是完全不同的。 　　1．数据插值的基本方法 　　拉格朗日插值 若知道函数＝在互异的两个点和处的函数值和，而想估计该函数在另一点处的函数值，最自然的想法是作过点（，）和点（，）的直线＝，用作为准确值的近似值，如果得到的结果误差太大，还可增加一点的函数值，即已知＝在互异的三个点，和处的函数值，和，可以构造过这三点的二次曲线＝，用作为准确值的近似值。 一般的，若已知＝在互异的＋1个点，，…，处的函数值，，…，，则可以考虑构造一个过这＋1个点的次数不超过的多项式 　　　　　　　　＝＋＋…＋＋　　　　　　　　 （1） 通过所有＋1个点，即满足 　　　　　　　　　　＝，＝0，1，…，　　　　　　　　　　　　　（2） 然后用作为准确值的近似值。这样构造出来的多项式称为的次拉格朗日插值多项式或插值函数。 　　分段插值 　　多项式历来都被认为是最好的逼近工具之一，它插值光滑，但不具有收敛性，会随着节点数目增多而次数升高，一般不宜采用高次多项式（如＞7）插值，否则逼近的效果往往是不理想的，甚至发生龙格振荡（当节点数目不断增大时，在区间中部趋于，但对于区间两端的，并不趋于，也称龙格现象）。 　　在插值范围较小，用低次插值往往就能奏效。最直观的办法就是将各数据点用折线连接起来，这种增加节点，用分段低次多项式插值的化整为零的处理方法称作分段插值法，即不去寻求整个插值区间上的一个高次多项式，而是把区间划分为若干个小区间。如果 　　　　　　　　　　＝＜＜…＜＝　　　　　　　　　　　　　　 　（3） 那么分段线性插值公式为 　　　＝＋，＜≤，＝0，1，…，　　　（4） 分段线性插值通常有较好的收敛性和稳定性，算法简单，克服了龙格现象，其缺点是不如拉格朗日插值多项式光滑。 　　样条插值 分段线性插值函数在节点的一阶导数一般不存在，且不光滑，这就导致了样条插值函数的提出。在机械制造、航海、航空工业中，经常需要解决下列问题：已知一些数据点（，），（，），（，），如何全部通过这些数据点作一条比较光滑的曲线呢？ 绘图员解决了这一问题，首先把数据描绘在平面上，再把一根富有弹性的细直条（称为样条）弯曲，使其一边通过这些数据点，用压铁固定其形状，沿样条边绘出一条光滑的曲线，往往要用几根样条，分段完成上述工作，同时也应让连接点处保持光滑。对绘图员用样条画出的曲线，进行数学模拟，就导出了样条函数的概念。如今已经成为了一个应