东北大学弹性力学课件之平面问题.ppt

力法： 已应力为基本未知量。 第三章 平面问题的直角坐标解答 §4 按应力求解平面问题 1、寻找应力法的基本方程，求解基本未知量； 2、通过物理方程 应变分量； 几何方程 位移分量。 步骤： 一、平面应力问题的基本方程 平衡方程 几何方程 物理方程 第三章 平面问题的直角坐标解答 §4 按应力求解平面问题 平衡方程仅含应力分量，二个方程3个未知量。 二、应力法的基本方程 1、相容方程 此式为应变分量表示的变形连续方程－相容方程 第三章 平面问题的直角坐标解答 §4 按应力求解平面问题 ⑴将几何方程中， 求 ， 求 ，并相加。 (3 - 10) 二、应力法的基本方程 1、相容方程 ⑵ 将物理方程（2－20）式代入相容方程（3－10）式 第三章 平面问题的直角坐标解答 §4 按应力求解平面问题 (a) ⑶ 将平衡方程（2－1）式变形并代入（a）式 ① ② ① + ② 二、应力法的基本方程 1、相容方程 ⑵ 将物理方程（2－20）式代入相容方程（3－10）式 第三章 平面问题的直角坐标解答 §4 按应力求解平面问题 (a) ⑶ 将平衡方程（2－1）式变形并代入（a）式 ① ② ① + ② (b) 二、应力法的基本方程 1、相容方程 第三章 平面问题的直角坐标解答 §4 按应力求解平面问题 (a) ⑷ （b）式代入（a）式 (b) (3 - 11) 令： 拉氏算子 二、应力法的基本方程 第三章 平面问题的直角坐标解答 §4 按应力求解平面问题 ⑸ 应力法求解平面问题归结为偏微分方程组的定解问题 (3 - 12) ｝ 边界条件： 三、基本方程的分析 第三章 平面问题的直角坐标解答 §4 按应力求解平面问题 1）当已知问题的边界条件时，通过上述公式可以求出精确解。 2）当问题是位移边条或混合边条时，因位移分量无法用应力 分量表示，故不能得到精确解。 3）对于应力边界问题：单连体应力分量可确定，多连体应力分量不可确定，需要考虑位移单值条件（位移表达式中含多值项）。 4）当体积力为常数或零时，上述基本方程与材料常数无关。 单连体：闭合曲线收缩为一点（只有一个连续边界的物体）。 多连体：闭合曲线不能收缩为一点（有多个连续边界的物体）。 5）相容方程与几何方程等价。 第三章 平面问题的直角坐标解答 §1 概述 §2 平面问题中一点的应力状态 §3 按位移求解平面问题 §4 按应力求解平面问题 §5 应力函数法（常体力情况） §6 逆解法与半逆解法（多项式） §7 位移分量的求出 §8 级数法 当体积力为常量时： 第三章 平面问题的直角坐标解答 §5 应力函数法（常体力情况） (3 - 12) ｝ (3 - 12) ｝ 当体积力为常量时： 第三章 平面问题的直角坐标解答 §5 应力函数法（常体力情况） 由平衡方程 解法： 应力函数 相容方程 边界条件 解出 满足 方程组求解： 通解＝齐次方程的通解＋非齐次方程的特解 齐次方程组 第三章 平面问题的直角坐标解答 §5 应力函数法（常体力情况） 方程组求解： 通解＝齐次方程的通解＋非齐次方程的特解 设解： 1）平衡方程（非齐次方程）的特解 各组解代入方程均满足 第三章 平面问题的直角坐标解答 §5 应力函数法（常体力情况） 方程组求解： 通解＝齐次方程的通解＋非齐次方程的特解 Ⅰ) 将①式变形 2）齐次方程（体积力为零）的通解 设一函数 ① ② ③ 令 （a） 将（a）式代入③式 满足①式 第三章 平面问题的直角坐标解答 §5 应力函数法（常体力情况） 方程组求解： 通解＝齐次方程的通解＋非齐次方程的特解 Ⅱ) 将②式中变形 2）齐次方程（体积力为零）的通解 设一函数 ① ② ④ 令 （b） 将（b）式代入④式，同样满足②式 第三章 平面问题的直角坐标解答 §5 应力函数法（常体力情况） 方程组求解： 通解＝齐次方程的通解＋非齐次方程的特解 Ⅱ) 将②式中变形 2）齐次方程（体积力为零）的通解 ① ② （b） （a） 由（a）和（b）式及 ，得 第三章 平面问题的直角坐标解答 §5 应力函数法（常体力情况） 方程组求解： 通解＝齐次方程的通解＋非齐次方程的特解 2）齐次方程（体积力为零）的通解 ① ② （c） Ⅲ) 设另一函数 代入 中： 此式为齐次方程的通解 第三章 平面问题的直角坐标解答 §5 应力函数法（常体力情况） 方程组求解： 通解＝齐次方程的通解＋非齐次方程的特解 3）平衡方程组的解 ① ② 特解： 通解： 方程组的解： （3－13） 第三章 平面